Phénomène de Gibbs

En mathématiques, lors de l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier, il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité, lors de l'analyse d'une fonction dérivable par morceaux. Le phénomène fut mis pour la première fois en évidence en 1848 par Henry Wilbraham, mais cette découverte ne connut guère d'écho. En 1898, Albert Michelson développa un système mécanique capable de calculer et sommer la série de Fourier d'un signal donné en entrée. Il observa alors un effet d'amplification des discontinuités, qui persistait malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés. Alors que Michelson soupçonnait un défaut dans la fabrication de son engin, Josiah Willard Gibbs montra que le phénomène était d'origine mathématique et se produisait dans des conditions très générales. En 1906, Maxime Bôcher donna la première interprétation satisfaisante du phénomène auquel il donna le nom de phénomène de Gibbs. Le phénomène de Gibbs est, en quelque sorte, un « défaut d'approximation » pour une fonction continue de classe C par morceaux. Pour une telle fonction f, le théorème de Dirichlet assure que la série de Fourier de f converge simplement vers la fonction f sur l'intervalle où f est C par morceaux. En tout point x de continuité, la somme de la série de Fourier est f(x). Le polynôme trigonométrique SN(f), N-ième somme partielle de la série de Fourier, est une fonction continue ; il est donc normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction au voisinage des points de discontinuité. Inversement, sur un segment sur lequel f est dérivable, on observe une convergence uniforme, conformément au théorème de Weierstrass trigonométrique (c'est le cas des zones de « plateau » dans l'exemple de la fonction créneau). Au point de discontinuité x, SN(f) subit une forte oscillation, une sorte de « ressaut » qui se mesure en comparant les valeurs en et .