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Concept
Sinus cardinal
Résumé
En mathématiques, la fonction sinus cardinal est une fonction définie à partir de la fonction trigonométrique sinus apparaissant fréquemment dans des problèmes de physique ondulatoire.
La fonction sinus cardinal est définie par :
où sin désigne la fonction sinus.
Il existe une autre définition couramment utilisée :
Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite sinc
(resp. sinc) la première (et respectivement la seconde) version de la fonction. La seconde est parfois nommée sinus cardinal normalisé.
La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en
un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est le nombre dérivé du sinus en 0, égale à cos(0) = 1, ce qui permet de définir la fonction en posant sinc(0) = 1, en opérant ainsi un prolongement par continuité.
Les zéros de la fonction sont atteints en (première définition) ou (seconde définition)
La valeur où le carré de sinc(x) vaut 0,5 est atteinte pour x = ± 1,39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à −3 dB en puissance, de la fonction).
La fonction est développable en série entière sur la droite réelle :
et s'écrit aussi comme une intégrale paramétrique :
De l'une ou l'autre de ces deux formules, on déduit que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur et peut même être étendu en une fonction holomorphe sur tout le plan complexe.
Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0 :
On démontre que l'intégrale converge. Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet, valant π/2. Cependant la fonction sinus cardinal n'est pas intégrable sur au sens de Lebesgue (elle l'est en revanche au sens de l'intégrale de jauge), car la convergence n'est pas absolue ; en d'autres termes, on a
La transformée de Plancherel du sinus cardinal sinc est la fonction porte Π, fonction indicatrice de l'intervalle réel [–1/2, 1/2].
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