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Concept
Ensemble transitif
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble.
Un ensemble X est dit transitif si
tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X
c'est-à-dire si
tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) :
∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X)
ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) :
∪X ⊂ X.
On parle également de classe transitive, avec la même définition : tout ensemble élément de la classe est également une partie de celle-ci.
L'ensemble vide ∅ et le singleton {∅} sont des ensembles transitifs.
Les entiers de von Neumann sont des ensembles transitifs :
, , , , ... , , ...
Par exemple, pour l’ordinal , on a et .
En effet et .
De façon plus générale, les ordinaux de von Neumann, dont les entiers précédents sont les premiers éléments, sont aussi des ensembles transitifs. On peut d'ailleurs les définir comme les ensembles transitifs sur laquelle l'appartenance définit une relation d'ordre strict dont l'ordre large associé est un bon ordre. La classe de tous les ordinaux est une classe transitive : les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.
Par transitivité l'appartenance entre deux ordinaux entraîne l'inclusion. On démontre que la relation d'inclusion sur les ordinaux est en fait la relation d'ordre large associée à l'appartenance (« appartient ou égal »).
On montre dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) que pour tout ensemble X, il existe un unique ensemble transitif Y contenant X et contenu dans tout ensemble transitif contenant X. On l'appelle la clôture transitive de X.
Par exemple, avec les notations ordinales ci-dessus :
si n ≠ 0, le singleton {n} n'est pas transitif. Sa clôture transitive est n + 1 ;
la clôture transitive du singleton { {1} } est l'ensemble {0, 1, {1} }.
La clôture transitive peut se définir par récurrence sur les entiers naturels, qui sont représentés par les entiers de von Neumann dans le cadre ensembliste :
Y0 = X ; Yn+1 = ∪Yn ; Y = ∪n ∈ ωYn où ∪A désigne la réunion des éléments de A, et ω l'ensemble des entiers de von Neumann.
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