Univers de von Neumann

En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930. Le rang d'un ensemble bien fondé est défini de façon récursive comme le plus petit nombre ordinal plus grand que les rangs de tous les membres de l'ensemble. En particulier, le rang de l'ensemble vide est zéro, et chaque ordinal a un rang égal à lui-même. Les ensembles dans V se répartissent dans une hiérarchie transfinie Vα, appelée hiérarchie cumulative, en fonction de leur rang. La hiérarchie cumulative est une collection d'ensembles Vα indexée par la classe des nombres ordinaux. En particulier, Vα est l'ensemble de tous les ensembles de rang inférieur à α. Il y a donc un ensemble Vα pour chaque nombre ordinal α. Vα peut être défini par récurrence transfinie ainsi : On définit V0 comme l'ensemble vide : Étant donné un nombre ordinal β, on définit Vβ+1 comme l'ensemble des parties de Vβ : Étant donné un ordinal limite λ, on définit Vλ comme l'union de toutes les étapes précédentes : Avec cette définition, il y a une seule formule φ(α,x) dans le langage de ZFC pour exprimer que . Les ensembles Vα sont appelés étapes (stages en anglais). L'univers V dans son ensemble est défini comme l'union de toutes les étapes : Voici une représentation graphique des premières étapes finies V0 jusqu'à V4. Le carré vide représente l'ensemble vide, un carré contenant ce carré vide représente l'ensemble ne contenant que l'ensemble vide, et ainsi de suite : 750px|frameless|centre|Les 5 premières étapes Une définition équivalente et plus compacte des étapes consiste à écrire : pour chaque ordinal α, où est l'ensemble des parties de .

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En théorie des ensembles, un ur-element (ou urelement) est quelque chose qui n'est pas un ensemble mais qui peut être élément d'un ensemble. Ainsi, si u est un ur-element, et X un ensemble, on peut avoir ou non : u ∈ X, mais X ∈ u est impossible. Ils partagent ainsi avec le seul ensemble vide le fait de ne posséder aucun élément, mais pour des raisons tout à fait différentes : rien ne peut appartenir à un ur-element parce que cela n'a pas de sens, alors que rien n'appartient à l'ensemble vide par définition.

La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels. Il apparait dans la première axiomatisation de la théorie des ensembles, publiée par Ernst Zermelo en 1908, sous une forme cependant un peu différente de celle exposée ci-dessous.

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