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Concept
Résonance de Helmholtz
Résumé
vignette|redresse=0.7|Résonateur de Helmholtz en laiton.
La résonance de Helmholtz est un phénomène de résonance de l’air dans une cavité. Le nom provient d’un dispositif créé dans les par Hermann von Helmholtz afin de déterminer la hauteur des différents tons. Un exemple de résonance de Helmholtz est la résonance du son créé lorsque l’on souffle dans le haut d’une bouteille vide.
Un modèle mathématique simple permet d'expliquer quantitativement le résonateur de Helmholtz et d'estimer sa fréquence propre.
Ce modèle est établi sous les hypothèses suivantes :
le résonateur est assimilé à une cavité fermée de volume V (que l'on appelle la bouteille) qui communique avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un petit tube de longueur L et de section A, que l'on appelle le col du résonateur ;
les dimensions pré-citées sont petites devant la longueur des ondes acoustiques considérées ;
l'air est considéré comme un gaz parfait ;
la bouteille est parfaitement thermiquement isolée, ou peut être considérée comme telle dans les échelles de temps mises en jeu au passage d'une onde acoustique ;
tous les effets dissipatifs, comme le frottement de l'air sur les parois ou les pertes par rayonnement acoustique, peuvent être ignorés, car ils influent relativement peu sur la valeur de la fréquence propre.
Sous l'effet d'une perturbation extérieure, il apparaît un petit déplacement de la colonne d'air à l'intérieur du col, d'amplitude notée . Le volume correspondant d'air déplacé dans la bouteille est donc :
Compte tenu des ci-dessus, la loi de Laplace définit la variation de pression correspondante dans la bouteille :
avec le rapport des chaleurs spécifiques, et p la pression atmosphérique.
Cette variation de pression engendre une force de rappel sur la colonne d'air, donnée par :
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette colonne d'air, il est possible d'exprimer son équation du mouvement :
avec la masse volumique de l'air.
Cette équation est celle d'un oscillateur linéaire à un degré de liberté :
Avec la pulsation propre de l'oscillateur.
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