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Concept
Identités de Newton
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, les identités de Newton (connues également sous le nom de formules de Newton-Girard) sont des relations entre deux types de polynômes symétriques, les polynômes symétriques élémentaires, et les sommes de Newton, c'est-à-dire les sommes de puissances des indéterminées. Évaluées aux racines d'un polynôme P à une variable, ces identités permettent d'exprimer les sommes des k-ièmes puissances de toutes les racines de P (comptées avec leur multiplicité) en fonction des coefficients de P, sans qu'il soit nécessaire de déterminer ces racines. Ces formules furent redécouvertes par Isaac Newton vers 1666, apparemment sans avoir eu connaissance du travail analogue d'Albert Girard en 1629. Elles ont des applications dans de nombreux domaines mathématiques, tels que la théorie de Galois, la théorie des invariants, la théorie des groupes, la combinatoire, et même dans des domaines non mathématiques, comme en relativité générale.
Soient x,...,x des variables ; pour tout entier naturel k non nul, on note p(x,...,x) la somme des puissances k-ièmes :
(appelée somme de Newton)
et pour k ≥ 0, on note e(x,...,x) le polynôme symétrique élémentaire qui est la somme des produits distincts de k variables distinctes parmi les n ; ainsi en particulier
Les identités de Newton s'écrivent alors :
relations vraies pour tout . On obtient ainsi pour les premières valeurs de k :
La forme de ces relations ne dépend pas du nombre n de variables (mais le membre de gauche devient nul après la n-ième identité), ce qui permet de les énoncer comme des identités dans l'anneau des polynômes symétriques. Dans cet anneau, on a :
et ainsi de suite ; dans ce cas, le membre de gauche ne s'annule jamais.
Ces équations permettent d'exprimer par récurrence les ei en fonction des pk ; inversement, les réécrivant sous la forme :
on peut exprimer les pi en fonction des ek.
Les xi étant pris comme paramètres et non comme variables, considérons le polynôme unitaire en t ayant pour racines x,...
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