Polynôme de Schur

En mathématiques, les polynômes de Schur, nommés ainsi d'après le mathématicien Issai Schur, sont des polynômes symétriques particuliers, indexés par les partitions d'entiers, et qui généralisent les polynômes symétriques élémentaires et les polynômes symétriques homogènes complets. En théorie des représentations, ce sont les caractères des représentations polynomiales irréductibles du groupe général linéaire. Les polynômes de Schur forment une base de l'espace de tous les polynômes symétriques. Un produit de polynômes de Schur peut être écrit comme combinaison linéaire de polynômes de Schur à coefficients entiers naturels ; les valeurs de ces coefficients sont données par la règle de Littlewood-Richardson. Il existe aussi des polynômes de Schur gauches qui sont associés à des couples de partitions et qui ont des propriétés similaires aux polynômes de Schur. Les polynômes de Schur sont indexés par les partitions d'entiers ou plus exactement, par les suites finies décroissantes d'entiers naturels. Étant donné un tel n-uplet λ = (λ, λ, ... , λ), où les λ sont entiers et λ ≥ λ ≥ ... ≥ λ ≥ 0 (cette suite finie pouvant être vue comme une « partition » de l'entier d = ∑λ mais en un sens élargi puisque les derniers λ sont autorisés à être nuls), le polynôme suivant est , c'est-à-dire qu'il est transformé en son opposé par une transposition des variables : Il est donc divisible par le déterminant de Vandermonde, qui correspond au n-uplet δ = (n – 1, n – 2, ... ,0) : Le polynôme de Schur associé à λ est par définition le polynôme quotient : où les n-uplets λ et δ sont additionnés terme à terme. Il est symétrique, comme quotient de deux polynômes alternants. Les polynômes de Schur de degré d en n variables forment une base de l'espace des polynômes symétriques homogènes de degré d en n variables. Pour une partition donnée, le polynôme de Schur s'écrit aussi comme une somme de monômes, sous la forme : où la sommation porte sur les tableaux de Young semi-standard de forme ; les exposants donnent le poids de : en d'autres termes, chaque compte les occurrences du nombre dans .

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