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Concept
Théorème fondamental des fonctions symétriques
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, le théorème fondamental des fonctions symétriques, souvent appelé « théorème fondamental des polynômes symétriques » ou « théorème de Newton », stipule que tout polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans un anneau (commutatif) A s'exprime de façon unique par une fonction polynomiale des n polynômes symétriques élémentaires. Autrement dit, les n polynômes symétriques élémentaires forment une partie génératrice de l'algèbre des polynômes symétriques en n indéterminées sur A et sont algébriquement indépendants sur A.
Soit A un anneau, et B = l'algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A. On dénote par S le groupe des permutations de . Si est un élément de B, et σ un élément de S, on note P le polynôme Un polynôme de B est dit symétrique s'il est invariant sous l'action de S, c'est-à-dire s'il reste identique à lui-même lorsqu'on permute entre elles de n'importe quelle façon les variables qui le composent.
Cette action de S sur B respecte la structure de A-algèbre de B (lemme 2, section « Démonstrations du théorème »), si bien que les polynômes symétriques forment une sous-algèbre. En d'autres termes, la somme et le produit de polynômes symétriques, et le produit d'un polynôme symétrique par un élément de A, sont symétriques.
De même, si K est un corps, une fraction rationnelle à n variables est dite symétrique si elle est invariante sous l'action du groupe S (celle-ci étant définie comme pour les polynômes), et les fractions rationnelles symétriques forment un sous-corps du corps des fractions rationnelles en n indéterminées sur K.
Les polynômes symétriques élémentaires s, pour n et k entiers naturels, sont les polynômes symétriques en n indéterminées définis par,ou encore par.On ne s'intéresse qu'aux s pour 1 ≤ k ≤ n, car s est nul si k > n, et est constant (égal à 1) si k = 0.
Le corollaire suivant justifie l'appellation usuelle du théorème :
En effet, toute fraction rationnelle symétrique est un quotient de deux polynômes symétriques.
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