En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, le théorème fondamental des fonctions symétriques, souvent appelé « théorème fondamental des polynômes symétriques » ou « théorème de Newton », stipule que tout polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans un anneau (commutatif) A s'exprime de façon unique par une fonction polynomiale des n polynômes symétriques élémentaires. Autrement dit, les n polynômes symétriques élémentaires forment une partie génératrice de l'algèbre des polynômes symétriques en n indéterminées sur A et sont algébriquement indépendants sur A.
Soit A un anneau, et B = l'algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A. On dénote par S le groupe des permutations de . Si est un élément de B, et σ un élément de S, on note P le polynôme Un polynôme de B est dit symétrique s'il est invariant sous l'action de S, c'est-à-dire s'il reste identique à lui-même lorsqu'on permute entre elles de n'importe quelle façon les variables qui le composent.
Cette action de S sur B respecte la structure de A-algèbre de B (lemme 2, section « Démonstrations du théorème »), si bien que les polynômes symétriques forment une sous-algèbre. En d'autres termes, la somme et le produit de polynômes symétriques, et le produit d'un polynôme symétrique par un élément de A, sont symétriques.
De même, si K est un corps, une fraction rationnelle à n variables est dite symétrique si elle est invariante sous l'action du groupe S (celle-ci étant définie comme pour les polynômes), et les fractions rationnelles symétriques forment un sous-corps du corps des fractions rationnelles en n indéterminées sur K.
Les polynômes symétriques élémentaires s, pour n et k entiers naturels, sont les polynômes symétriques en n indéterminées définis par,ou encore par.On ne s'intéresse qu'aux s pour 1 ≤ k ≤ n, car s est nul si k > n, et est constant (égal à 1) si k = 0.
Le corollaire suivant justifie l'appellation usuelle du théorème :
En effet, toute fraction rationnelle symétrique est un quotient de deux polynômes symétriques.
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Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics a
En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines. Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme Q(T, ..., T) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, ..., n}, l'égalité suivante est vérifiée : Exemples Pour n = 1, tout polynôme est symétrique.
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, les identités de Newton (connues également sous le nom de formules de Newton-Girard) sont des relations entre deux types de polynômes symétriques, les polynômes symétriques élémentaires, et les sommes de Newton, c'est-à-dire les sommes de puissances des indéterminées. Évaluées aux racines d'un polynôme P à une variable, ces identités permettent d'exprimer les sommes des k-ièmes puissances de toutes les racines de P (comptées avec leur multiplicité) en fonction des coefficients de P, sans qu'il soit nécessaire de déterminer ces racines.
vignette|portrait de François Viète. Un polynôme de degré sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale : où est appelé coefficient de . Si est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent . Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré à coefficients complexes admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai).
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