Cardinal inaccessible

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un cardinal inaccessible est un cardinal ne pouvant être construit à partir de cardinaux plus petits à l'aide des axiomes de ZFC ; cette propriété fait qu'un cardinal inaccessible est un grand cardinal. Un cardinal infini א est : soit א0 si α = 0 ; soit limite (au sens faible) si α est un ordinal limite ; soit successeur de א si α = β + 1. On dit qu'un ordinal α est cofinal avec un ordinal β inférieur si β a le type d'ordre d'une partie cofinale de α, c'est-à-dire s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant : . On dit qu'un cardinal est régulier s'il n'est cofinal avec aucun cardinal strictement plus petit, et qu'il est singulier dans le cas contraire. Tout cardinal infini singulier est limite. On dit qu'un cardinal infini א, non dénombrable, est faiblement inaccessible s'il est régulier et limite (au sens faible ci-dessus) et qu'il est fortement inaccessible (ou simplement inaccessible) s'il est régulier et limite au sens plus fort suivant : . Si l'on admet l'hypothèse généralisée du continu, les deux notions se confondent. On construit dans ZF la hiérarchie cumulative de von Neumann, Vα, α étant un ordinal, qui est une hiérarchie de tous les ensembles bien fondés, et donc de tous les ensembles en présence de l'axiome de fondation. En particulier Vα contient tous les ordinaux strictement inférieurs à α. On montre alors dans ZF que, si κ est (fortement) inaccessible — on dira juste inaccessible dans la suite — l'ensemble Vκ, muni de l'appartenance restreinte à Vκ est un modèle de ZF. On peut ajouter l'axiome du choix : dans ZFC, on montre que Vκ est un modèle de ZFC. On a besoin de la régularité de κ pour démontrer le schéma d'axiomes de remplacement (on peut sans régularité, dans le cas des singuliers κ, dont toute suite cofinale d'éléments n'est pas définissable au premier ordre dans Vκ, et ne contredit donc pas le schéma de remplacement).