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Concept
Univers constructible
Résumé
En mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté , est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur . Il y montrait que cette classe est un de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente. De nombreux autres théorèmes (comme les résultats d’existence dépendant du lemme de Zorn) n'étant applicables que si on admet l’axiome du choix, sa cohérence est un résultat important.
L'univers constructible de Gödel peut être construit par étapes, de manière similaire à la construction de l'univers de von Neumann, . Les étapes sont indexées par des nombres ordinaux. Alors que dans l'univers de von Neumann, l'étape α+1 d'un successeur est l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'étape Vα précédente, dans l'univers constructible de Gödel cet ensemble est l'ensemble des sous-ensembles qui sont définissables par une formule qui respecte les contraintes suivantes :
doit être une formule du langage formel de la théorie des ensembles ;
ne doit être paramétrée que par des ensembles de l'étape précédente ;
les variables quantifiées doivent prendre leur domaine dans l'étape précédente.
En construisant une étape uniquement à partir de ce qui a été construit aux étapes précédentes, on s'assure que l'ensemble qui en résulte soit indépendant des particularités du modèle de théorie des ensembles qui sert de base, et soit inclus dans n'importe lequel des modèles de cette théorie.
Soit
Alors, par les règles de récurrence transfinie, on définit :
Si est un ordinal limite, alors
L'univers L est alors défini comme l'union de tous les Lα :
Si z appartient à Lα, alors z = {y | y ∈ Lα et y ∈ z} ∈ Def(Lα) = Lα+1. Par conséquent Lα est inclus dans Lα+1, qui est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de Lα.
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