Concept
thumb|right|L'observation de base de la géométrie des nombres : un disque centré en O contient des points du quadrillage (en vert) autres que O seulement s'il est assez grand (c'est le cas du disque violet C', mais pas du disque rose C) En mathématiques, la géométrie des nombres est une discipline qui interprète des problèmes arithmétiques en termes de réseaux discrets et les résout en utilisant des propriétés géométriques. Elle a été fondée à la fin du par Hermann Minkowski. Le point de départ est une observation élémentaire : si on dessine un quadrillage dans le plan et un cercle dont le centre est un des sommets du quadrillage, alors, si le cercle est assez grand, son intérieur contient d'autres points du quadrillage. Un trait important de la géométrie des nombres est donc l’interaction entre discret (les points du quadrillage) et continu (l'intérieur du cercle). En changeant le cercle en d'autres figures, en variant la forme du maillage, en généralisant à des dimensions supérieures, on obtient des applications variées, qui concernent l’analyse fonctionnelle, l’approximation diophantienne, la géométrie et l’analyse convexes, l’algorithmique, la combinatoire, la théorie algébrique des nombres, les empilements de sphères, la cristallographie. Théorème de Minkowski thumb|alt=Exemple d’un polygone convexe satisfaisant le théorème de Minkowski|L’intérieur C du polygone en bleu vérifie les hypothèses du théorème fondamental de Minkowski pour le réseau des points à coordonnées entières. Ce théorème concerne l’intersection d’un ensemble convexe et d’un réseau de points dans l’espace Rd, de dimension d ; plus précisément, il dit que si la forme du convexe est assez régulière et si le volume du convexe est assez grand par rapport à celui d’une maille du réseau, le convexe contient plusieurs points du réseau. Une version plus générale se déduit presque immédiatement du théorème de Blichfeldt. Le cas le plus simple est celui dans lequel le réseau de points est Zd, c’est-à-dire est formé de tous les points à coordonnées entières.
