Radical imbriqué

En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines. Par exemple qui apparaît dans l'étude du pentagone régulier, ou d'autres plus complexes telles que . On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple : Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile. Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués. Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple : Si a et b sont des rationnels positifs tels que soit irrationnel et inférieur à a, pour pouvoir mettre ou sous la forme il faut et il suffit que le nombre soit rationnel. La solution est alors : avec Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes : Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan : En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés. L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué . Table de lignes trigonométriques exactes Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel θ de π s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si θ/π s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2. Par exemple : Pour tous réel r, s > 0, on démontre que la suite récurrente (u) définie par et est strictement croissante et converge vers la solution de x = , c'est-à-dire la racine positive s + /2 de l'équation du second degré x – sx – r = 0, ce qui constitue une définition du nombre Par exemple : ou encore : (voir nombre d‘or) et plus généralement : p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour p = 2.