Algèbre extérieure

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann. Vers 1846, ce dernier a écrit un traité sur les « grandeurs extensives », précurseurs des multivecteurs. L'algèbre extérieure est utilisée en mathématiques dans la théorie des déterminants qui permettent de calculer les volumes et les surfaces. L'algèbre extérieure permet en particulier de définir les formes différentielles sur une variété et les champs de multivecteurs. Les formes différentielles sont particulièrement utiles en topologie algébrique et surtout en géométrie différentielle et en physique mathématique. En géométrie algébrique, l'algèbre extérieure intervient dans l'étude des faisceaux localement libres. Ces applications sont à peine abordées dans cet article qui se veut avant tout introductif. Dans un premier temps, on peut se contenter d'une description par générateurs et relations. On introduit un symbole . Les désignant des éléments de E, on considère l'espace vectoriel engendré par les éléments notés sur le même corps que celui de E. Les relations sont les axiomes qui font de un produit, avec la relation supplémentaire pour tout x de E. On en déduit alors que : . L'algèbre ΛE est l'algèbre graduée associative la plus générale contenant E, avec un produit ayant la propriété d'alternance. Il est naturel de voir dans ce problème une variante de l'introduction de l'algèbre tensorielle T(E), et d'obtenir la propriété d'alternance par un quotient adapté. Soit I l'idéal bilatère de T(E) engendré par les éléments de la forme v⊗v pour v appartenant E (cet idéal contient les éléments de la forme v⊗w + w⊗v pour v et w appartenant à E).