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Concept
Produit mixte
Résumé
En géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope.
Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle.
Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par
Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.
Le produit mixte est nul si et seulement si la famille des xi est liée, strictement positif si et seulement si elle constitue une base directe, vaut 1 si elle constitue elle aussi une base orthonormale directe.
Il vérifie l'inégalité de Hadamard
Lorsque les vecteurs forment une famille libre, il y a égalité si et seulement si cette famille est orthogonale. Autrement dit, les longueurs des côtés étant données, le parallélotope droit est celui qui a le plus gros volume.
Pour la fabrication de vecteurs particuliers (avec des coefficients 1 et -1) vérifiant le cas d'égalité voir matrice de Hadamard.
Dans un espace euclidien, et même dans un espace préhilbertien réel de dimension quelconque, les déterminants permettent également le calcul des volumes des parallélotopes de toute dimension finie sous la forme de matrices et déterminants de Gram.
Il s'agit cette fois de volumes non orientés, et il n'est pas possible d'en donner une version orientée.
Par dualité de Hodge, il est possible de passer du 0-vecteur 1 à un n-vecteur de la forme produit extérieur des vecteurs d'une base orthonormale directe e1, ..., en. Le produit extérieur de n vecteurs quelconques s'écrit donc
Il est également possible de voir l'application produit mixte comme une forme n-linéaire duale de la 0-forme 1
Pour tout de , l'application est une forme linéaire. E étant un espace euclidien de dimension finie, il existe un unique vecteur, noté tel que :
Le vecteur s'appelle produit vectoriel de .
L'application produit vectoriel est (n-1)-linéaire alternée.
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