En géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope.
Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle.
Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par
Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.
Le produit mixte est nul si et seulement si la famille des xi est liée, strictement positif si et seulement si elle constitue une base directe, vaut 1 si elle constitue elle aussi une base orthonormale directe.
Il vérifie l'inégalité de Hadamard
Lorsque les vecteurs forment une famille libre, il y a égalité si et seulement si cette famille est orthogonale. Autrement dit, les longueurs des côtés étant données, le parallélotope droit est celui qui a le plus gros volume.
Pour la fabrication de vecteurs particuliers (avec des coefficients 1 et -1) vérifiant le cas d'égalité voir matrice de Hadamard.
Dans un espace euclidien, et même dans un espace préhilbertien réel de dimension quelconque, les déterminants permettent également le calcul des volumes des parallélotopes de toute dimension finie sous la forme de matrices et déterminants de Gram.
Il s'agit cette fois de volumes non orientés, et il n'est pas possible d'en donner une version orientée.
Par dualité de Hodge, il est possible de passer du 0-vecteur 1 à un n-vecteur de la forme produit extérieur des vecteurs d'une base orthonormale directe e1, ..., en. Le produit extérieur de n vecteurs quelconques s'écrit donc
Il est également possible de voir l'application produit mixte comme une forme n-linéaire duale de la 0-forme 1
Pour tout de , l'application est une forme linéaire. E étant un espace euclidien de dimension finie, il existe un unique vecteur, noté tel que :
Le vecteur s'appelle produit vectoriel de .
L'application produit vectoriel est (n-1)-linéaire alternée.
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Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
Le but du cours de physique générale est de donner à l'étudiant les notions de base nécessaires à la compréhension des phénomènes physiques. L'objectif est atteint lorsque l'étudiant est capable de pr
En géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope. Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.
Un multivecteur est le résultat d'un produit défini pour les éléments d'un espace vectoriel V. Un espace vectoriel muni d'une opération linéaire de produit entre ses éléments est une algèbre; on peut compter parmi les exemples d'algèbres sur un corps celles des matrices et des vecteurs.. L'algèbre des multivecteurs est construite grâce au produit extérieur ∧ et est liée à l’algèbre extérieure des formes différentiellesH. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le produit vectoriel en dimension 7 est une loi de composition interne d'un espace euclidien à 7 dimensions, ayant certaines propriétés du produit vectoriel usuel (en dimension 3) ; on démontre d'ailleurs que de telles lois n'existent qu'en dimensions trois et sept. Les principes sous-jacents à la construction du produit vectoriel en dimension 7 seront présentés dans la section suivante.
We discuss some properties of generative models for word embeddings. Namely, (Arora et al., 2016) proposed a latent discourse model implying the concentration of the partition function of the word vec