Conducteur (théorie du corps de classes)

En théorie algébrique des nombres, le conducteur d'une extension abélienne finie de corps locaux ou globaux fournit une mesure quantitative de la ramification dans l'extension. La définition du conducteur est liée à la réciprocité d'Artin. Soit L/K une extension abélienne finie de corps locaux non-archimédiens. Le conducteur de L/K, noté , est le plus petit entier non négatif n tel que le groupe unitaire supérieur est contenu dans NL/K(L×), où NL/K est la norme et est l'idéal maximal de K. De manière équivalente, n est le plus petit entier tel que le morphisme d'Artin locale soit triviale sur . Parfois, le conducteur est défini comme où n est comme ci-dessus. Le conducteur d'une extension mesure la ramification. Qualitativement, l'extension est non-ramifiée si, et seulement si, le conducteur est nul, et elle est modérément ramifiée si, et seulement si, le conducteur est 1. Plus précisément, le conducteur calcule la non-trivialité des groupes de ramification supérieure : si s est le plus grand entier pour lequel le groupe de ramification supérieure Gs est non trivial, alors . Le conducteur de L/K est également lié aux conducteurs d'Artin de caractères du groupe de Galois Gal(L/K). Plus précisément, où χ varie sur tous les caractères complexes de Gal(L/K), est le conducteur d'Artin de χ, et ppcm est le plus petit commun multiple. Le conducteur peut être défini de la même manière pour L/K une extension galoisienne finie non nécessairement abélienne de corps locaux Cependant, il ne dépend que de Lab/K, l'extension abélienne maximale de K dans L, grace au théorème de limitation de norme, qui stipule que, dans cette situation. De plus, le conducteur peut être défini lorsque L et K sont autorisés à être légèrement plus généraux que locaux, à savoir s'il s'agit de corps valués complets avec un champ résiduel quasi-fini. Le conducteur d'une extension abélienne L/K de corps de nombres peut être défini, de manière similaire au cas local, à l'aide de la réciprocité d'Artin.