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Concept
Groupe archimédien
Résumé
Un groupe archimédien est, en algèbre générale, un groupe totalement ordonné vérifiant la propriété d'Archimède, à savoir: pour toute paire d'éléments positifs du groupe, on peut majorer l'un par un multiple entier de l'autre.
Par exemple, l'ensemble R des nombres réels muni de l'addition et de la relation d'ordre usuelle est un groupe archimédien. Le terme d'archimédien, popularisé par le mathématicien Otto Stolz, fait référence au mathématicien grec Archimède qui énonce cette propriété dans ses travaux.
Soit un groupe (G, +, ≤) noté additivement et totalement ordonné, c'est-à-dire que
(G, +) vérifie les axiomes d'un groupe : G est un ensemble non vide, la loi de composition sur G notée + est associative, possède un élément neutre noté 0 et chaque élément x possède un symétrique noté -x.
(G, ≤) est un ensemble totalement ordonné : ≤ est une relation d'ordre sur G et cet ordre est total, c'est à dire qu'on peut toujours comparer deux éléments entre eux.
Enfin, la relation d'ordre ≤ est compatible avec la loi + : si x et y sont deux éléments de G tels que x ≤ y, alors pour tout z, x + z ≤ y + z et z + x ≤ z + y.
De plus, dans un groupe additif, on note na une addition de n copies de a :
Le groupe G est dit archimédien s'il satisfait la propriété d'Archimède : pour tout couple a et b d'éléments de G supérieurs à 0, il est possible de trouver un nombre entier naturel n tel que b ≤ na.
De manière équivalente, un groupe totalement ordonné est archimédien si et seulement si aucun de ses sous-groupes cycliques n'est borné. Cela découle directement de la définition : la propriété d'Archimède pour le couple (a,b) implique que le sous-groupe cyclique engendré par a n'est pas borné par b.
L'ensemble Z des nombres entiers relatifs, l'ensemble Q des nombres rationnels, ou l'ensemble R des nombres réels, munis de l'opération d'addition et de l'ordre usuel (≤), sont des groupes archimédiens. Tout sous-groupe d'un groupe archimédien est lui-même archimédien.
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