Parabole semi-cubique

vignette|347x347px| Parabole semi-cubique pour divers a . En mathématiques, une cubique cuspidale ou parabole semi-cubique est une courbe plane algébrique qui a une équation implicite de la forme (avec ) dans un système de coordonnées cartésiennes. La résolution en y conduit à la forme explicite ce qui implique que tout point réel vérifie . L'exposant explique le terme parabole semi-cubique (une parabole peut être décrite par l'équation y = ax). La résolution de l'équation implicite pour x donne une deuxième forme explicite L'équation paramétrique peut également être déduit de l'équation implicite en posant Les paraboles semi-cubiques ont un point de rebroussement ; d'où le nom de cubique cuspidale. La longueur de l'arc de la courbe a été calculée par le mathématicien anglais William Neile et publiée en 1657 . Toute parabole semi-cubique (t , at) est similaire à la parabole unitaire semi-cubique (u , u). Preuve : la similarité (mise à l'échelle uniforme) cartographie la parabole semi-cubique sur la courbe avec u = at. La représentation paramétrique (t , at) est régulière sauf au point (0 ; 0), où la courbe a une singularité (point de rebroussement). On le voit en remarquant que le vecteur tangent (2t , 3t) est nul en t = 0. vignette|Tangente d'une parabole semi-cubique Par différenciation de la parabole semi-cubique unitaire on obtient au point de la branche supérieure l'équation de la tangente : Cette tangente coupe la branche inférieure exactement en un autre point de coordonnées Pour prouver cette affirmation, il faut utiliser le fait que la tangente rencontre la courbe deux fois en . Pour déterminer la longueur d'arc d'une courbe , il faut calculer l'intégrale . Pour la parabole semi-cubique on obtient qui peut être résolue par le changement de variables . Exemple : Pour a = 1 (parabole semi-cubique unitaire) et b = 2, c'est-à-dire la longueur de l'arc entre l'origine et le point (4 ; 8), on obtient une longueur d'arc de 9,073.