Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Dimension fractale
Résumé
En géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.
Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré, il est donc essentiel de mentionner la définition utilisée lorsqu'on valorise la dimension fractale d'un ensemble. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff, la dimension de Minkowski-Bouligand (ou "box-counting"), et la dimension de corrélation.
Dans le cas d'ensembles fractals simples (auto-similarité stricte, notamment) on conjecture que ces définitions donnent des résultats identiques.
Par abus de langage, on trouve parfois le terme "dimension fractale" pour désigner des grandeurs non géométriques telles que l'exposant de lois de puissance dans des lois de distribution statistiques ou des séries temporelles, invariantes d'échelle, notamment en finance.
Les figures géométriques usuelles ont une dimension entière :
La dimension D d'un segment, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Sa longueur est multipliée par lorsque sa taille double.
La dimension D d'une surface simple et bornée est de 2. Elle a une aire finie et cette aire est multipliée par lorsque sa taille double.
La dimension D d'un volume simple et borné dans l'espace est de 3. Il a un volume fini et ce volume est multiplié par lorsque sa taille double.
Si D est la dimension d'un objet, alors la mesure de cet objet est multipliée par lorsque la taille de cet objet est multipliée par .
Or, par exemple, la longueur de la courbe de Koch est multipliée par 4 lorsque sa taille triple (En effet, cette courbe est précisément définie comme étant constituée de quatre copies d'elle-même, trois fois plus petites). Puisque , on peut considérer intuitivement qu'il s'agit d'un objet de dimension (plus précisément, ).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique
Cours associés (15)
PHYS-441: Statistical physics of biomacromolecules
Introduction to the application of the notions and methods of theoretical physics to problems in biology.
PHYS-460: Nonlinear dynamics, chaos and complex systems
The course provides students with the tools to approach the study of nonlinear systems and chaotic dynamics. Emphasis is given to concrete examples and numerical applications are carried out during th
ME-716: Similarity and Transport Phenomena in Fluid
The course is an introduction to symmetry analysis in fluid mechanics. The student will learn how to find similarity and travelling-wave solutions to partial differential equations used in fluid and c
Séances de cours associées (35)
Intermittence et corrections à la théorie de Kolmogorov
Explore l'intermittence et les corrections de la théorie de Kolmogorov en fonction des écarts de données et des violations d'hypothèses.
De bout en bout Distance Exponent
Explore l'exposant correct pour la distance de bout en bout dans les chaînes de polymère et ses implications sur les corrélations de chaîne.
Fractales et théorie du chaos
Explore des cartes chaotiques, des dimensions fractales et d'étranges attracteurs dans des systèmes dynamiques.
Publications associées (156)
Personnes associées (32)
Unités associées (11)
Concepts associés (21)
Fractale
vignette|Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot)|alt=Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot). vignette|Ensemble de Julia en . Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles. C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire ».
Infini
thumb|∞ : le symbole infini. Le mot « infini » (-e, -s) est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille. Il vient du latin infīnītus, dérivé de fīnītus « limité » (avec in-, préfixe négatif), issu lui-même du verbe fīnĭo, fīnīre (« délimiter », mais aussi : « préciser », « déterminer », et intransitivement « finir »), et du nom fīnis (souvent au pluriel, fīnes : « bornes, limites d'un champ », « frontières d'un pays ») ; il signifie donc, littéralement « qui est sans borne », mais aussi « indéterminé » et « indéfini ».
Fractal curve
A fractal curve is, loosely, a mathematical curve whose shape retains the same general pattern of irregularity, regardless of how high it is magnified, that is, its graph takes the form of a fractal. In general, fractal curves are nowhere rectifiable curves — that is, they do not have finite length — and every subarc longer than a single point has infinite length. A famous example is the boundary of the Mandelbrot set. Fractal curves and fractal patterns are widespread, in nature, found in such places as broccoli, snowflakes, feet of geckos, frost crystals, and lightning bolts.