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Concept
Dimension fractale
Résumé
En géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.
Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré, il est donc essentiel de mentionner la définition utilisée lorsqu'on valorise la dimension fractale d'un ensemble. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff, la dimension de Minkowski-Bouligand (ou "box-counting"), et la dimension de corrélation.
Dans le cas d'ensembles fractals simples (auto-similarité stricte, notamment) on conjecture que ces définitions donnent des résultats identiques.
Par abus de langage, on trouve parfois le terme "dimension fractale" pour désigner des grandeurs non géométriques telles que l'exposant de lois de puissance dans des lois de distribution statistiques ou des séries temporelles, invariantes d'échelle, notamment en finance.
Les figures géométriques usuelles ont une dimension entière :
La dimension D d'un segment, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Sa longueur est multipliée par lorsque sa taille double.
La dimension D d'une surface simple et bornée est de 2. Elle a une aire finie et cette aire est multipliée par lorsque sa taille double.
La dimension D d'un volume simple et borné dans l'espace est de 3. Il a un volume fini et ce volume est multiplié par lorsque sa taille double.
Si D est la dimension d'un objet, alors la mesure de cet objet est multipliée par lorsque la taille de cet objet est multipliée par .
Or, par exemple, la longueur de la courbe de Koch est multipliée par 4 lorsque sa taille triple (En effet, cette courbe est précisément définie comme étant constituée de quatre copies d'elle-même, trois fois plus petites). Puisque , on peut considérer intuitivement qu'il s'agit d'un objet de dimension (plus précisément, ).
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