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Concept
Matrice de Dirac
Résumé
Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron.
Le pendant relativiste de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme :
où est une fonction d'onde vectorielle, la masse de la particule, l'hamiltonien, sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique, et i désigne l'unité imaginaire. L'équation de Dirac doit respecter les trois contraintes suivantes :
Les composantes de doivent satisfaire l'équation de Klein-Gordon, une onde plane dont une solution est :
Il existe un quadrivecteur densité de courant qui est conservé et dont la composante temporelle est une densité positive (identifiée avec la charge électrique) ;
Les composantes de ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un instant donné elles sont des fonctions indépendantes de .
Dirac proposa que les matrices hermitiques soient anticommutantes et de carré égal à un. C’est-à-dire qu'elles obéissent à l'algèbre suivante :
où les crochets sont l'anticommutateur et la matrice identité.
En élevant l'équation de Dirac au carré, on vérifie immédiatement que la première condition est satisfaite. On introduit ensuite les matrices de Dirac proprement dites :
où est la métrique de Minkowski.
On introduit aussi le « slash » de Feynman :
L'équation de Dirac prend alors la forme :
Une représentation explicite, dite « représentation standard », est donnée par :
où est la matrice unité 2×2 et sont les matrices de Pauli.
Cette représentation est particulièrement pratique car elle met en évidence le caractère spinoriel (dû au spin demi-entier) de la fonction d'onde de l'électron et elle sépare les composantes d'énergie positive et négative.
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