In mathematics and quantum mechanics, a Dirac operator is a differential operator that is a formal square root, or half-iterate, of a second-order operator such as a Laplacian. The original case which concerned Paul Dirac was to factorise formally an operator for Minkowski space, to get a form of quantum theory compatible with special relativity; to get the relevant Laplacian as a product of first-order operators he introduced spinors. It was first published in 1928.
In general, let D be a first-order differential operator acting on a vector bundle V over a Riemannian manifold M. If
where ∆ is the Laplacian of V, then D is called a Dirac operator.
In high-energy physics, this requirement is often relaxed: only the second-order part of D2 must equal the Laplacian.
D = −i ∂x is a Dirac operator on the tangent bundle over a line.
Consider a simple bundle of notable importance in physics: the configuration space of a particle with spin 1/2 confined to a plane, which is also the base manifold. It is represented by a wavefunction ψ : R2 → C2
where x and y are the usual coordinate functions on R2. χ specifies the probability amplitude for the particle to be in the spin-up state, and similarly for η. The so-called spin-Dirac operator can then be written
where σi are the Pauli matrices. Note that the anticommutation relations for the Pauli matrices make the proof of the above defining property trivial. Those relations define the notion of a Clifford algebra.
Solutions to the Dirac equation for spinor fields are often called harmonic spinors.
Feynman's Dirac operator describes the propagation of a free fermion in three dimensions and is elegantly written
using the Feynman slash notation. In introductory textbooks to quantum field theory, this will appear in the form
where are the off-diagonal Dirac matrices , with and the remaining constants are the speed of light, being Planck's constant, and the mass of a fermion (for example, an electron). It acts on a four-component wave function , the Sobolev space of smooth, square-integrable functions.
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Introduction to Quantum Mechanics with examples related to chemistry
Presentation of particle properties, their symmetries and interactions.
Introduction to quantum electrodynamics and to the Feynman rules.
Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron. Le pendant relativiste de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme : où est une fonction d'onde vectorielle, la masse de la particule, l'hamiltonien, sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique, et i désigne l'unité imaginaire.
En géométrie différentielle, il est possible de définir sur certaines variétés riemanniennes la notion de structure spinorielle (qui se décline en structures Spin ou Spinc), étendant ainsi les considérations algébriques sur le groupe spinoriel et les spineurs. En termes imagés, il s'agit de trouver, dans le cadre des « espaces courbes », une géométrie « cachée » à l’œuvre derrière les concepts géométriques ordinaires. On peut aussi y voir une généralisation de la notion d'orientabilité et de changement d'orientation à une forme d'« orientabilité d'ordre supérieur ».
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, démontré par Michael Atiyah et Isadore Singer en 1963, affirme que pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété différentielle compacte, l’indice analytique (lié à la dimension de l'espace des solutions) est égal à l’indice topologique (défini à partir d'invariants topologiques). De nombreux autres théorèmes, comme le théorème de Riemann-Roch, en sont des cas particuliers, et il a des applications en physique théorique.
Explore les opérateurs de spin en mécanique quantique et les valeurs fixes de spin pour les particules comme les électrons et les protons.
Explore l'équation de Dirac pour une particule en mouvement, les propriétés des matrices gamma, des solutions, des antiparticules et la normalisation des spinores.
Explore les propriétés de l'équation de Dirac, les solutions, les antiparticules et les concepts de spin.
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We perform a systematic DMRG investigation of the two natural spin-1 generalizations of the spin-1/2 Majumdar-Ghosh chain, the spin-1 J(1)-J(2) Heisenberg chain, where J(2) is a next-nearest-neighbor Heisenberg coupling, and the spin-1 J(1)-J(3) model, whe ...
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