Involution (mathématiques)

En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelés symétries. Des involutions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en combinatoire et en topologie. Une involution peut aussi être associée à un phénomène de dualité. Soit un ensemble, supposé non vide. On dit qu'une application est involutive (ou que c'est une involution de E) si pour tout . Autrement dit : : la composée de f avec elle-même est l'application identité de E. Une application f de E dans lui-même est une involution si et seulement si elle est bijective et telle que f = f (l'image et l'antécédent de tout élément de E coïncident). La composée g∘f de deux involutions f et g de E est involutive si et seulement si f et g commutent, c'est-à-dire si f∘g = g∘f. Soit f une involution de E : si g est une bijection de E sur F, de bijection réciproque g, alors g∘f∘g est une involution de F ; si g est une application de E dans E telle que g∘f∘g = f, alors f∘g et g∘f sont des involutions de E. En algèbre linéaire, si K est un corps et E un K-espace vectoriel : les symétries sur E sont les endomorphismes involutifs de E. en particulier, sur l'espace vectoriel M(K) des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K, la transposition est un endomorphisme involutif. lorsque E est de dimension finie n, on peut associer à chaque endomorphisme de E sa matrice A (élément de M(K)) dans une base fixée ; cette matrice est celle d'une symétrie si et seulement si A×A est égale à la matrice identité I. En algèbre, l'application d'un groupe dans lui-même qui à chaque élément x associe son symétrique x est involutive : (x) = x. En analyse, pour tous réels b ≠ 0 et a, les applications définie sur R{a} et définie sur R, sont des involutions.

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MATH-111(e): Linear Algebra

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.

A geometric characterization of orient at ion-reversing involutions

Hugo Parlier

We give a geometric characterization of compact Riemann surfaces admitting orientation-reversing involutions with fixed points. Such surfaces are generally called real surfaces and can be represented by real algebraic curves with non-empty real part. We show that there is a family of disjoint simple closed geodesics that intersect all geodesics of a pants decomposition at least twice in uniquely right angles if and only if such an involution exists. This implies that a surface is real if and only if there is a pants decomposition of the surface with all Fenchel-Nielsen twist parameters equal to 0 or 1/2.

2008

Minimum euclidien des ordres maximaux dans les algèbres centrales à division

Jérôme Chaubert

This work concerns the study of Euclidean minima of maximal orders in central simple algebras. In the first part, we define the concept of ideal lattice in the non-commutative case. Let A be a semi-simple algebra over Q. An ideal lattice over A is a triple (I, α, τ) where I is an ideal of A, α is a unit in AR = A ⊗Q R fixed by τ and τ is a positive involution on AR, in other words, trAR/R(xαxτ) > 0 for all x ∈ IR. We study ideal lattices, especially their Hermite invariant, to link the concepts of Euclidean minimum of a maximal order and ideal lattices of the form (Λ, α, τ). Namely, we show that we can bound the Euclidean minimum of Λ by the Hermite invariant of the ideal lattices of Λ. This upper bound allows us to calculate the Euclidean minima of some infinite families of maximal orders, when A is a quaternion skew field over Q. In the second part, we look for other ways to find upper and lower bounds of the euclidean minimum of a maximal order in a quaternion skew field. This research leads us to an exhaustive list of euclidean quaternion skew fields over Q, and their euclidean minima. The quadratic case has also been studied but remains partially unsolved. At the end, we give bounds for Euclidean minima of some maximal orders of quaternion skew fields over cyclotomic fields.

EPFL2007

Matrice (mathématiques)

thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

Involution (mathématiques)

Matrix ring

In abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.

Déterminants et forme d'Échelon de ligne MATH-111(e): Linear Algebra

Couvre les déterminants, la forme des échelons de rangée, les propriétés et l'interprétation géométrique des déterminants.

Normalisation des débits

Sur Normalisation des flux explore l'inférence des données, la génération, la taxonomie et les applications pratiques dans l'analyse des problèmes inverses.

Symmétrie en géométrie moderne MATH-124: Geometry for architects I

Explore la symétrie dans la géométrie moderne, en mettant l'accent sur les isométries, les réflexions, les rotations et les traductions, soulignant l'importance des rotations de 180 degrés.