Théorème de Fermat sur les triangles rectangles
Le théorème de Fermat sur les triangles rectangles est le résultat suivant de non-existence : thumb|300px|Deux triangles rectangles dont les deux côtés du triangle bleu sont égaux au côté et à l'hypoténuse du triangle jaune. Selon le théorème de Fermat sur les triangles rectangles, il n'est pas possible que les quatre longueurs a, b, c, et d, soient des entiers. Il a diverses reformulations : l'aire d'un triangle rectangle de côtés rationnels (appelée un nombre congruent) ne peut pas être le carré d'un rationnel ; les côtés d'un triangle rectangle ne sont jamais simultanément commensurables au côté du carré de même aire ; il n'existe pas deux triangles pythagoriciens tels que les deux cathètes du plus petit soient égales à une cathète et l'hypoténuse du plus grand ; si trois nombres carrés sont en progression arithmétique, la raison d'une telle suite (alors appelée un ) ne peut pas être elle aussi un nombre carré ; les seuls points rationnels de la courbe elliptique y = x(x – 1)(x + 1) sont les trois points triviaux (0, 0), (1, 0) et (–1, 0) ; l'équation diophantienne v – t = s n'a pas de solution entière non triviale. La dernière de ces formulations a pour conséquence immédiate le cas particulier n = 4 dans le « dernier théorème de Fermat ». Dans tous les travaux arithmétiques de Fermat qui lui ont survécu, il semble que son théorème sur les triangles rectangles soit le seul accompagné d'une réelle démonstration. D'après le théorème de Pythagore, ce théorème de Fermat s'écrit : il n'existe pas d'entiers non nuls a, b, c et d tels que a + b = c et ab/2 = d. Il équivaut à l'énoncé 1 : il n'existe même pas de rationnels non nuls vérifiant ces équations (on se ramènerait sinon à des entiers, en multipliant ces rationnels par un dénominateur commun) et à l'énoncé 2 (en divisant ces quatre rationnels par d). Les énoncés 3 et 4 s'écrivent : il n'existe pas d'entiers non nuls u, v, w et t tels que u + t = v et v + t = w, ce qui, comme précédemment, équivaut à la non-existence de rationnels non nuls vérifiant ces équations.