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Théorème de Fermat sur les triangles rectangles

Le théorème de Fermat sur les triangles rectangles est le résultat suivant de non-existence : thumb|300px|Deux triangles rectangles dont les deux côtés du triangle bleu sont égaux au côté et à l'hypoténuse du triangle jaune. Selon le théorème de Fermat sur les triangles rectangles, il n'est pas possible que les quatre longueurs a, b, c, et d, soient des entiers. Il a diverses reformulations : l'aire d'un triangle rectangle de côtés rationnels (appelée un nombre congruent) ne peut pas être le carré d'un rationnel ; les côtés d'un triangle rectangle ne sont jamais simultanément commensurables au côté du carré de même aire ; il n'existe pas deux triangles pythagoriciens tels que les deux cathètes du plus petit soient égales à une cathète et l'hypoténuse du plus grand ; si trois nombres carrés sont en progression arithmétique, la raison d'une telle suite (alors appelée un ) ne peut pas être elle aussi un nombre carré ; les seuls points rationnels de la courbe elliptique y = x(x – 1)(x + 1) sont les trois points triviaux (0, 0), (1, 0) et (–1, 0) ; l'équation diophantienne v – t = s n'a pas de solution entière non triviale. La dernière de ces formulations a pour conséquence immédiate le cas particulier n = 4 dans le « dernier théorème de Fermat ». Dans tous les travaux arithmétiques de Fermat qui lui ont survécu, il semble que son théorème sur les triangles rectangles soit le seul accompagné d'une réelle démonstration. D'après le théorème de Pythagore, ce théorème de Fermat s'écrit : il n'existe pas d'entiers non nuls a, b, c et d tels que a + b = c et ab/2 = d. Il équivaut à l'énoncé 1 : il n'existe même pas de rationnels non nuls vérifiant ces équations (on se ramènerait sinon à des entiers, en multipliant ces rationnels par un dénominateur commun) et à l'énoncé 2 (en divisant ces quatre rationnels par d). Les énoncés 3 et 4 s'écrivent : il n'existe pas d'entiers non nuls u, v, w et t tels que u + t = v et v + t = w, ce qui, comme précédemment, équivaut à la non-existence de rationnels non nuls vérifiant ces équations.

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Congruum
In number theory, a congruum (plural congrua) is the difference between successive square numbers in an arithmetic progression of three squares. That is, if , , and (for integers , , and ) are three square numbers that are equally spaced apart from each other, then the spacing between them, , is called a congruum. The congruum problem is the problem of finding squares in arithmetic progression and their associated congrua. It can be formalized as a Diophantine equation: find integers , , and such that When this equation is satisfied, both sides of the equation equal the congruum.
Dernier théorème de Fermat
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994.
Équation de Fermat généralisée
En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équationoù sont des entiers non nuls, sont des entiers non nuls premiers entre eux et sont entiers. Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension.
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