Équation de Fermat généralisée

En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équationoù sont des entiers non nuls, sont des entiers non nuls premiers entre eux et sont entiers. Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante. L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation ou à la seule équation . Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal. On appelle la signature et la caractéristique de l'équation . On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure : le cas sphérique. est à permutation près ou . le cas euclidien (ou parabolique). est à permutation près , ou . le cas hyperbolique. De par le nombre relativement faible de valeurs de les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches. Conjecture de Fermat-Catalan La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonceIl est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour et non une infinité de valeurs pour car fournit cette infinité sans être toutefois intéressant. Nous connaissons aujourd'hui 10 solutions à cette équation. Voir Cas hyperbolique.