Concept

Dernier théorème de Fermat

Résumé
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable. Dans le cas où n = 1, l'équation x + y = z correspond à l'addition usuelle et a donc une infinité de solutions. Dans le cas où n = 2 cette équation a encore une infinité de solutions en nombres entiers positifs non nuls, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit est (3, 4, 5) : 3 + 4 = 5. Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour n > 2, cette équation n'a pas de solution en entiers positifs non nuls (les autres solutions, de la forme x + 0 = x, sont souvent appelées solutions triviales). Si l'équation n'a pas de solution (en entiers positifs non nuls) pour un exposant n donné, elle n'en a pour aucun des multiples de n (puisque xkn = (xk)n) et donc il suffit, pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour n premier impair et pour n = 4. vignette|droite|La page de l' des Arithmétiques traduite et commentée par Bachet de Méziriac, la question VIII traite des triplets pythagoriciens. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note. Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce en marge d'une traduction (du grec au latin) des Arithmétiques de Diophante, en regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens : . On ignore la destination de ces notes marginales, qui paraissent cependant avoir été réservées au seul usage du mathématicien, même si on peut trouver qu'elles sont écrites « dans un style qui suppose la présence d’un lecteur ».
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