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Concept
Triangle de Sierpiński
Résumé
Le triangle de Sierpiński, ou tamis de Sierpińsky, également appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński qui l'a décrit en 1915.
Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein », par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».
512px|Étapes de construction du triangle de Sierpiński.|center
Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière récurrente suivante :
Commencer à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles.
Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont l'aire est divisée par 4.
Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.
La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.
vignette|Triangle de Sierpiński associé à un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 et créé par un générateur d'IFS.
Le triangle de Sierpiński est l'attracteur du système de fonctions itérées {h, h, h} des trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets a, b et c. Au passage, la théorie des systèmes de fonctions itérées garantit a posteriori l'existence du triangle de Sierpiński.
On applique le jeu du chaos.
thumb|Obtention du triangle de Sierpiński par coloriage du triangle de Pascal.
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