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Concept
Identité (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, le mot « identité » est employé dans plusieurs sens : il peut par exemple désigner un objet bien défini jouant un rôle particulier dans une famille d'objets (on parle ainsi de la fonction identité parmi les fonctions, de l'élément identité dans un groupe, de la matrice identité parmi les matrices, etc.).
Cet article est consacré à un autre sens : une identité est une égalité entre deux expressions qui est vraie quelles que soient les valeurs des différentes variables employées ; par abus de langage, on baptise parfois aussi « identité » une égalité entre des termes constants, qu'on considère comme fondamentale ou surprenante. Les identités servent en général à transformer une expression mathématique en une autre, notamment pour résoudre une équation, ou à exprimer une relation importante entre certains éléments d'une théorie.
En trigonométrie, de nombreuses identités permettent d'effectuer des calculs.Par exemple, est une identité au sens propre, vraie quelle que soit la valeur du nombre réel (et même complexe) .
L'identité de Vandermonde, en combinatoire, est vraie pour toutes les valeurs des trois entiers naturels qui y interviennent.
La célèbre identité d'Eulerlie d'une façon simple et frappante des constantes fondamentales de l'analyse mathématique : 0 ; 1 ; i ; π ; et e.
Identité remarquable
Certaines identités algébriques sont qualifiées de « remarquables » dans l'enseignement secondaire. Elles facilitent le calcul ou la factorisation d'expressions polynomiales.
Par exemple, l'identité remarquable , qui est vraie quels que soient éléments et d'un anneau commutatif (comme celui des entiers relatifs ou le corps des nombres réels...) fournit un procédé de calcul pour effectuer une multiplication si on dispose de simples listes de carrés : en utilisant
le calcul du produit se ramène à des calculs de sommes ou de divisions par 2, et à la lecture de la liste de carrés.
Certaines structures mathématiques sont définies à l’aide d’identités.
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