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Concept
Lemme de normalisation de Noether
Résumé
En algèbre commutative, le lemme de normalisation de Noether, dû à la mathématicienne allemande Emmy Noether, donne une description des algèbres de type fini sur un corps.
On fixe une algèbre commutative de type fini A sur un corps (commutatif) K.
Lemme de normalisation de Noether : L'algèbre contient et est finie sur un sous-anneau de polynômes .
De façon équivalente : Il existe un entier positif ou nul d et un homomorphisme fini injectif de K-algèbres Autrement dit, il existe tels que tout élément a de A s'écrit comme une combinaison avec des polynômes dépendants de a.
Remarques
L'entier d est alors égal à la dimension de Krull de A. Si A est intègre, c'est aussi le degré de transcendance du corps de fractions de A sur K.
Il existe une version graduée du lemme de normalisation de Noether : Soit A une algèbre graduée sur un corps K, engendrée par un nombre fini d'éléments homogènes de degrés strictement positifs. Alors il existe un entier positif ou nul d et un homomorphisme fini injectif de K-algèbres graduées
L'homomorphisme fini implique que tout élément a de A est entier sur , c'est-à-dire qu'il vérifie une relation polynomiale du type
avec les .
Exemples
L'algèbre est finie sur la sous-algèbre de polynômes , engendrée comme module par 1 et Y.
L'algèbre est finie sur la sous-algèbre de polynômes (elle est engendrée comme module par 1 et X).
Soit . Alors l'homomorphisme , qui envoie T sur x+y (l'image de X+Y dans le quotient A), est injectif et fini.
Toute variété algébrique affine sur K est un revêtement fini (ramifié) d'un espace affine (c'est-à-dire qu'il existe un morphisme fini surjectif vers un espace affine ).
L'énoncé ci-dessus admet un analogue projectif : toute variété projective de dimension d sur K est un revêtement fini (ramifié) d'un espace projectif .
On suppose que A est intègre. L'injection donnée par le lemme de normalisation induit une extension finie des corps de fractions . Quand K est de caractéristique nulle, l'extension est automatique séparable.
Source officielle
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