Dérivée fonctionnelle

La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations. Elle exprime la variation d'une fonctionnelle résultant d'une variation infinitésimale de la fonction fournie en argument. Cet outil est principalement utilisé pour trouver les extremums d'une fonctionnelle. En physique il est souvent nécessaire de minimiser une fonctionnelle, par exemple en mécanique analytique où la trajectoire suivie par un système doit minimiser l'action (voir principe de moindre action). Cependant, la dérivée fonctionnelle n'est qu'une notation reprenant la définition de la différentielle, elle n'apporte pas de nouveaux concepts mathématiques par rapport à la différentiabilité d'une fonctionnelle. Soit un espace vectoriel de fonctions, étant le corps des scalaires. On appelle fonctionnelle sur une application de dans . Notons l'ensemble des fonctionnelles sur . Soit une fonctionnelle et une fonction . Pour définir la dérivée fonctionnelle de par rapport à sa variable , nous avons besoin de la différentiabilité (au sens de Fréchet) de en (et donc de munir et de structures d'espace vectoriel normé). Dans ce cadre, la dérivée fonctionnelle de par rapport à , notée se définit comme la fonctionnelle sur telle que : où représente la dérivée directionnelle de dans la direction , cette dérivée étant bien définie au point car est supposée différentiable en . Ici, l'argument des fonctionnelles est noté entre crochets pour rappeler que l'argument de et de est une fonction. On remarque immédiatement que la dérivée fonctionnelle de par rapport à s'identifie à la différentielle de au point : grâce à l'identité . Cela montre que est une forme linéaire sur , c'est-à-dire que appartient au dual (algébrique) de . Dans ce cadre, la différentielle de se note aussi et est appelée différentielle fonctionnelle de . Si est un ensemble de fonction test, la propriété précédente fait de une distribution. Le fait que soit stationnaire au point s'écrit par définition , donc est une condition nécessaire pour que soit un extremum local de .