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Concept
Équations de Lagrange
Résumé
vignette|Joseph-Louis Lagrange
Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique.
Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction.
Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type :
Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.
Par exemple, pour le pendule simple, on a la contrainte . Si de plus le mouvement se fait dans le plan Oxz, on rajoute l'équation
On fait l'hypothèse selon laquelle les forces de réaction (hors frottements) sont orthogonales à la surface ou courbe de contrainte, elles s'écrivent alors sous la forme
Les équations du mouvement sont donc
En mécanique lagrangienne, la trajectoire d'un objet est obtenue en cherchant à minimiser une certaine quantité, appelée action. Le principe de moindre action indique qu'un objet suit la trajectoire qui minimise l'action à chaque instant et les équations de Lagrange reformulent dans ce contexte les lois de la mécanique classique découvertes par Isaac Newton.
En mécanique, les équations de Lagrange permettent d'obtenir très facilement les équations du mouvement d'un système complexe sans avoir à utiliser la notion de force.
Pour un système à degrés de liberté décrit par coordonnées généralisées ,
on exprime le lagrangien à partir des coordonnées généralisées
et de leurs dérivées par rapport au temps comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
Comme le temps peut figurer explicitement dans le lagrangien, il dépend finalement de variables.
Lorsqu'aucun effort extérieur n'est appliqué sur le système, les équations de Lagrange ont la forme suivante :
Ces équations peuvent se déduire directement des lois de la mécanique classique. Il y a une équation pour chaque coordonnée généralisée . L'un des intérêts de ces équations est de pouvoir choisir le système de variables le plus adapté pour décrire le système.
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