Ordre total

En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) : x ≤ x (réflexivité) ; si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ; si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ; x ≤ y ou y ≤ x (totalité). Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre. La quatrième fait de cet ordre un ordre total. L'ensemble des lettres d'un alphabet est totalement ordonné par un ordre alphabétique. Tout corps euclidien, comme le corps R des réels, est muni d'un ordre total naturel : x ≤ y si et seulement si y – x est un carré. Soient f : X → Y une injection, ≤ un ordre sur Y, et ≼ l'ordre induit sur X en posant : x1 ≼ x2 si et seulement si f(x1) ≤ f(x2). Si ≤ est total alors ≼ aussi. En particulier : toute restriction à une partie X de Y d'un ordre total sur Y est un ordre total sur X. Par exemple, toute partie de R est totalement ordonnée par la relation d'ordre usuelle. Si un ordre ≤ sur E est total, alors l'ordre opposé ≥ sur E est total (la réciproque en résulte). L'ordre lexicographique sur le produit cartésien d'un ensemble bien ordonné d'ensembles totalement ordonnés, est lui-même un ordre total ; par exemple, tout ensemble de mots est totalement ordonné par l'ordre alphabétique, et tout bon ordre est un ordre total. Une chaîne d'un ensemble partiellement ordonné (E, ≤) est une partie de E sur laquelle l'ordre ≤ est total. Cette notion joue un rôle important en théorie des ensembles, par le lemme de Zorn. On peut définir un ensemble totalement ordonné comme un treillis dans lequel {a∨b, a∧b} = {a, b} pour tous a, b ; on peut alors poser a ≤ b si et seulement si a = a∧b ; on démontre qu'un ordre total est aussi un treillis distributif. D'après le théorème d'extension de Szpilrajn, tout ordre partiel ≤ sur un ensemble E est prolongeable en un ordre total sur E, appelé une extension linéaire de ≤.