Ordre total | EPFL Graph Search

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En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que \forall x,y\in E\quad x\le y\text{ ou }y\le x. On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Définition Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) :

x ≤ x (réflexivité) ;
si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ;
si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ;
x ≤ y ou y ≤ x (totalité).

Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre. La quatrième fait de cet ordre un ordre total. Exemples

L'ensemble des lettres d'un alphabet est totalement ordonné par un ordre alphabétique.
Tout corps euclidien, comme le corps ℝ des réels, est muni d'un ordre total naturel : x ≤ y si et seulement si y – x est un carré.
Soient f : X → Y une injection, ≤ un ordre sur Y, et ≼ l'ordre induit

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Résumé

x ≤ x (réflexivité) ;
si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ;
si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ;
x ≤ y ou y ≤ x (totalité).

Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre. La quatrième fait de cet ordre un ordre total. Exemples

L'ensemble des lettres d'un alphabet est totalement ordonné par un ordre alphabétique.
Tout corps euclidien, comme le corps ℝ des réels, est muni d'un ordre total naturel : x ≤ y si et seulement si y – x est un carré.
Soient f : X → Y une injection, ≤ un ordre sur Y, et ≼ l'ordre induit

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