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Concept
Ensemble partiellement ordonné
Résumé
En mathématiques, un ensemble partiellement ordonné (parfois appelé poset d'après l'anglais partially ordered set) formalise et généralise la notion intuitive d'ordre ou d'arrangement entre les éléments d'un ensemble. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre qui indique que pour certains couples d'éléments, l'un est plus petit que l'autre. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables, contrairement au cas d'un ensemble muni d'un ordre total.
Si l'ensemble est fini, on dispose d'une représentation graphique de l'ensemble partiellement ordonné, le diagramme de Hasse, ce qui peut permettre de travailler plus aisément dessus. Si l'ensemble est infini, on peut dessiner une partie de son diagramme de Hasse.
Un ordre (ou ordre partiel) est une relation binaire sur un ensemble P qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Elle se note ≤.
Les trois axiomes précédents se récrivent:
a ≤ a (réflexivité).
Si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b (anti-symétrie).
Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c (transitivité).
Ce n'est donc pas nécessairement un ordre total.
L'ensemble des nombres entiers naturels, muni de la divisibilité est un ensemble partiellement ordonné infini.
Un ensemble de personnes muni de la relation de la descendance généalogique est un ensemble partiellement ordonné. Par exemple, deux sœurs sont inférieures à leur mère mais ne sont pas comparables entre elles.
L'ensemble des parties d'un ensemble donné, muni de l'inclusion forme un ensemble partiellement ordonné. Si l'ensemble donné est fini, son ensemble des parties est fini (plus précisément pour , on a ). La figure ci-dessous représente le diagramme de Hasse d'un ensemble à 3 éléments.
Pour prendre un cas concret (en effet, isomorphe) de l’exemple précédent, un ensemble de personnes muni de la relation peut donner du sang pour forme un ensemble partiellement ordonné selon les systèmes ABO et Rhésus. Les éléments x, y, et z dans l’exemple précédent plus général étant instantiés par les antigènes A, B, et D (Rh+) de l’individu.
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