Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Équation de Riccati
Résumé
En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme
où , et sont trois fonctions, souvent choisies continues sur un intervalle commun à valeurs réelles ou complexes.
Elle porte ce nom en l'honneur de Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) et de son fils Vincenzo Riccati (1707-1775).
Il n'existe pas, en général, de résolution par quadrature à une telle équation, mais il existe une méthode de résolution dès que l'on en connaît une solution particulière.
En 1720, Francesco Riccati présente à son ami, Giovanni Rizzetti, deux équations différentielles qu'il cherche à résoudre :
où a, b et c sont des constantes réelles ;
où a, b et m sont des constantes réelles.
La première équation est issue de l'étude d'un mouvement plan vérifiant l'équation différentielle linéaire suivante :
où x et y sont les coordonnées d'un point M en mouvement.
En s'intéressant à la pente z de la droite (OM), il prouve que z doit vérifier une équation du type (1), d'où son désir d'en étudier les solutions générales.
La seconde équation ne fut résolue que partiellement par son auteur et par les Bernoulli (Nicolas et Daniel tout particulièrement). Le fils de Francesco, Vicenzo Riccati, en développa une méthode de résolution par tractoire. Goldbach s'y attela aussi. Puis, en 1841, Liouville prouva qu'en dehors du cas
où h est un entier naturel,
l'équation n'est pas résoluble par quadratures.
Les équations de Riccati se généralisent ensuite à toute équation de la forme
Pour certaines conditions sur , , , l'équation est résoluble par quadrature. Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on prouve que, si , et sont des fonctions continues, alors il existe des solutions à l'équation de Riccati. Enfin on démontre que, si l'on en connaît une solution particulière, une équation de Riccati se ramène par changement de variable à une équation de Bernoulli.
L'équation différentielle non-linéaire de Riccati peut toujours être reformulée en une équation différentielle linéaire Ordinaire (EDO).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.