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Concept
Mesure complexe
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure complexe, ou mesure à valeurs complexes, est une extension de la notion de mesure signée finie dans le sens où les valeurs complexes sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure signée finie qui est, par définition, à valeurs réelles.
De manière équivalente, une mesure complexe est une fonction qui peut s'écrire sous la forme où et sont des mesures signées finies, appelées respectivement, partie réelle et partie imaginaire de .
Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure réelle positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures au sens classique, c'est-à-dire, prenant des valeurs dans .
Dans toute cette section est une mesure complexe sur l'espace mesurable .
Par définition, pour tout , . Ainsi, contrairement aux mesures signées, une mesure complexe ne prend que des valeurs finies.
Pour toute suite d'ensembles disjoints dans , la somme est commutativement convergente donc est absolument convergente.
La variation est toujours une mesure réelle positive finie sur l'espace .
La somme de deux mesures complexes est une mesure complexe. Le produit d'une mesure complexe avec un nombre complexe est aussi une mesure complexe. Autrement dit, l'ensemble des mesures complexes sur est un espace vectoriel complexe. En outre, la norme de variation totale définie par est une norme sur cet espace qui en fait un espace de Banach.
Les parties réelles et imaginaires de sont des mesures signées finies sur .
Il est possible de définir l'intégrale d'une fonction réelle mesurable par rapport à une mesure complexe de la même manière que l'intégrale (au sens de Lebesgue) d'une fonction réelle par rapport à une mesure réelle positive en la définissant d'abord pour les fonctions étagées puis en passant au cas général par approximation.
Il est aussi possible de la définir de manière équivalente sans tout redéfinir mais plutôt en utilisant l'intégrale par rapport à une mesure réelle.
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Set function
In mathematics, especially measure theory, a set function is a function whose domain is a family of subsets of some given set and that (usually) takes its values in the extended real number line which consists of the real numbers and A set function generally aims to subsets in some way. Measures are typical examples of "measuring" set functions. Therefore, the term "set function" is often used for avoiding confusion between the mathematical meaning of "measure" and its common language meaning.
Mesure signée
En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives. Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs ou . Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives.
Sigma additivité
vignette|Illustration de la sigma additivité La sigma additivité, appelé aussi additivité dénombrable, est un concept en théorie de la mesure. Soit un ensemble et un ensemble de parties de . On dit que l'application μ est σ-additive sur lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : si E1, E2, ... est une suite d'éléments de , si ces parties de sont deux à deux disjointes et si leur réunion E est aussi un élément de , alors la valeur μ(E) de μ sur cette réunion E est égale à la somme des valeurs de μ sur les parties Ek : Il s'agit d'une version plus forte de l'additivité simple.