Mesure complexe

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure complexe, ou mesure à valeurs complexes, est une extension de la notion de mesure signée finie dans le sens où les valeurs complexes sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure signée finie qui est, par définition, à valeurs réelles. De manière équivalente, une mesure complexe est une fonction qui peut s'écrire sous la forme où et sont des mesures signées finies, appelées respectivement, partie réelle et partie imaginaire de . Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure réelle positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures au sens classique, c'est-à-dire, prenant des valeurs dans . Dans toute cette section est une mesure complexe sur l'espace mesurable . Par définition, pour tout , . Ainsi, contrairement aux mesures signées, une mesure complexe ne prend que des valeurs finies. Pour toute suite d'ensembles disjoints dans , la somme est commutativement convergente donc est absolument convergente. La variation est toujours une mesure réelle positive finie sur l'espace . La somme de deux mesures complexes est une mesure complexe. Le produit d'une mesure complexe avec un nombre complexe est aussi une mesure complexe. Autrement dit, l'ensemble des mesures complexes sur est un espace vectoriel complexe. En outre, la norme de variation totale définie par est une norme sur cet espace qui en fait un espace de Banach. Les parties réelles et imaginaires de sont des mesures signées finies sur . Il est possible de définir l'intégrale d'une fonction réelle mesurable par rapport à une mesure complexe de la même manière que l'intégrale (au sens de Lebesgue) d'une fonction réelle par rapport à une mesure réelle positive en la définissant d'abord pour les fonctions étagées puis en passant au cas général par approximation. Il est aussi possible de la définir de manière équivalente sans tout redéfinir mais plutôt en utilisant l'intégrale par rapport à une mesure réelle.