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Concept
Mesure signée
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives.
Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs ou .
Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives.
Dans toute cette section est une mesure signée sur l'espace mesurable .
Si une mesure signée prend la valeur alors elle ne prend jamais la valeur et inversement. Plus précisémentSi un ensemble mesurable A est de mesure finie, alors tous ses sous ensembles mesurables sont encore de mesure finie. En sommeUne mesure signée est finie si et seulement si elle est bornée. Autrement ditOn a les relations suivantesLe résultat suivant s'apparente à une propriété de continuité d'une mesure signée
Si sont deux mesures positives sur l'espace mesurable et si l'une d'elles est finie, alors leur différence est une mesure signée sur .
Soit un espace mesuré (avec une mesure positive). Soit une fonction intégrable à valeurs réelles, alors la fonction
est une mesure signée finie sur .
De plus si on pose et où sont respectivement les parties positive et négative de , alors sont des mesures positives sur et .
Le théorème de décomposition de Hahn, du mathématicien autrichien Hans Hahn, énonce la chose suivante
Une décomposition de Hahn de est définie comme étant la donnée d'un couple satisfaisant les quatre propriétés du théorème ci-dessus. Si sont deux décompositions de Hahn de , alors et sont totalement nuls pour (où désigne la différence symétrique).
Le théorème de décomposition de Jordan, du mathématicien français Camille Jordan, est une conséquence du théorème de décomposition de Hahn. Il énonce la chose suivante
La décomposition de Jordan d'une mesure signée peut facilement se construire à partir d'une décomposition de Hahn.
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