Mesure signée | EPFL Graph Search

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives. Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs ou . Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives. Dans toute cette section est une mesure signée sur l'espace mesurable . Si une mesure signée prend la valeur alors elle ne prend jamais la valeur et inversement. Plus précisémentSi un ensemble mesurable A est de mesure finie, alors tous ses sous ensembles mesurables sont encore de mesure finie. En sommeUne mesure signée est finie si et seulement si elle est bornée. Autrement ditOn a les relations suivantesLe résultat suivant s'apparente à une propriété de continuité d'une mesure signée Si sont deux mesures positives sur l'espace mesurable et si l'une d'elles est finie, alors leur différence est une mesure signée sur . Soit un espace mesuré (avec une mesure positive). Soit une fonction intégrable à valeurs réelles, alors la fonction est une mesure signée finie sur . De plus si on pose et où sont respectivement les parties positive et négative de , alors sont des mesures positives sur et . Le théorème de décomposition de Hahn, du mathématicien autrichien Hans Hahn, énonce la chose suivante Une décomposition de Hahn de est définie comme étant la donnée d'un couple satisfaisant les quatre propriétés du théorème ci-dessus. Si sont deux décompositions de Hahn de , alors et sont totalement nuls pour (où désigne la différence symétrique). Le théorème de décomposition de Jordan, du mathématicien français Camille Jordan, est une conséquence du théorème de décomposition de Hahn. Il énonce la chose suivante La décomposition de Jordan d'une mesure signée peut facilement se construire à partir d'une décomposition de Hahn.

The non-linear stochastic wave equation in high dimensions

Daniel Conus

The main topic of this thesis is the study of the non-linear stochastic wave equation in spatial dimension greater than 3 driven by spatially homogeneous Gaussian noise that is white in time. We are interested in questions of existence and uniqueness of solutions, as well as in properties of solutions, such as existence of high order moments and Hölder-continuity properties. The stochastic wave equation is formulated as an integral equation in which appear stochastic integrals with respect to martingale measures (in the sense of J.B. Walsh). Since, in dimensions greater than 3, the fundamental solution of the wave equation is neither a function nor a non-negative measure, but a general Schwartz distribution, we first develop an extension of the Dalang-Walsh stochastic integral that makes it possible to integrate a wide class of Schwartz distributions. This class contains the fundamental solution of the wave equation, under a hypothesis on the spectral measure of the noise that has already been used in the literature. With this extended stochastic integral, we establish existence of a square-integrable random-field solution to the non-linear stochastic wave equation in any dimension. Uniqueness of the solution is established within a specific class of processes. In the case of a fine multiplicative noise, we obtain a series representation of the solution and estimates on the p-th moments of the solution (p ≥ 1). From this, we deduce Hölder-continuity of the solution under standard assumptions. The Hölder exponent that we obtain is optimal. For the case of general multiplicative noise, we construct a framework for working with appropriate iterated stochastic integrals and then derive a truncated Itô-Taylor expansion for the solution of the stochastic wave equation. The convergence of this expansion remains an open problem, so we conclude with some remarks that suggest an Itô-Taylor series expansion for the solution.

EPFL2008

The non-linear stochastic wave equation in high dimensions

Daniel Conus

EPFL2008