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Concept
Epsilon d'une machine
Résumé
L'epsilon d'un microprocesseur (abrégé en eps) donne la limite supérieure de l'erreur d'approximation relative causé par l'arrondi des calculs de ce microprocesseur en arithmétique à virgule flottante. Cette valeur est une caractéristique de l'arithmétique des ordinateurs dans le domaine de l'analyse numérique, et par extension dans le sujet du calcul scientifique.
Les valeurs d'epsilon standards suivantes s'appliquent pour le matériel implémentant les normes IEEE de calcul en virgule flottante:
Une procédure d'arrondi est une procédure de choix de la représentation d'un nombre réel dans un système de numération en virgule flottante. Étant donné ce système de numération et une procédure d'arrondi, l’epsilon est le maximum de l'erreur d’approximation relative de la procédure d'arrondi choisie.
D’autres définitions et informations permettent de calculer l’epsilon à partir de l'erreur relative. Un système de numération à virgule flottante est caractérisé par une base et par une précision , qui donne le nombre de chiffres de composant la mantisse (y compris les éventuels bits implicites). Les nombres représentés avec un exposant sont espacés d'une valeur de . L'espacement change aux nombres qui sont des puissances entières de ; l'espacement du côté de plus grande magnitude est fois plus grand que l'espacement du côté de plus petite magnitude.
L'epsilon étant une borne pour l'erreur d'approximation relative, il ne dépend pas de l’exposant. Pour le déterminer, il suffit donc de considérer le cas ou l’exposant est nul. Il suffit également de considérer les nombres positifs. Pour l'arrondi usuel, c’est-à-dire l’arrondi vers le nombre le plus proche, l'erreur d'approximation absolue est au plus la moitié de l'espacement, c'est-à-dire . Cette valeur est la plus grande valeur possible pour le numérateur de l'erreur relative. Le dénominateur de la formule est le nombre à arrondir, qui devrait être aussi petit que possible pour que l'erreur relative soit grande. La pire erreur relative se produit donc quand l'arrondi est appliqué à des nombres de la forme , où est compris entre et .
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