Métrique de Cayley-Klein

En mathématiques, une métrique de Cayley-Klein est une métrique définie sur le complémentaire d'une quadrique fixée d'un espace projectif, la quadrique absolue, à l'aide du birapport. Cette métrique a été construite par Arthur Cayley en 1859 ; la construction fut complétée par Felix Klein entre 1871 et 1873. Les métriques de Cayley-Klein fournissent un cadre unifié aux différentes géométries euclidiennes et non euclidiennes, en y définissant la notion de distance par la même construction dans tous les cas. Parmi les idées ayant servi de base à la construction de Cayley-Klein, on trouve l'« » créée par Karl von Staudt en 1847, une approche de la géométrie ne faisant pas intervenir de distances ou d'angles, et n'utilisant que les notions de division harmonique et de birapport. En 1853, Edmond Laguerre obtint , montrant que l'angle entre deux droites (en géométrie euclidienne) peut être calculé à partir d'un birapport. Finalement, en 1859, Arthur Cayley formula dans son article On the theory of distance des relations exprimant les distances à partir de calculs (en géométrie projective) liés à une quadrique définie par lui comme l'absolu de la géométrie étudiée. Felix Klein, dans des articles de 1871 et 1873, puis dans une série d'ouvrages, reprit le travail de von Staudt, en supprima les dernières références à la distance euclidienne, et le combina à la théorie de Cayley pour définir la nouvelle métrique comme le logarithme d'un birapport, éliminant le risque d'une définition circulaire, et montrant que les géométries non euclidiennes pouvaient, comme la géométrie euclidienne, être définies à partir de cette métrique. La géométrie de Cayley-Klein (suivant les principes du programme d'Erlangen) est l'étude du groupe des isométries pour cette métrique ; on démontre qu'il s'agit du sous-groupe des transformations projectives laissant globalement invariante la quadrique absolue ; chaque choix de quadrique correspond à une des géométries classiques (euclidienne, hyperbolique, elliptique, etc.).