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Concept
Transformation de Möbius
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.
En particulier, si on identifie à la sphère de Riemann , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :
avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0,
la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si z = ∞ ou si cz + d = 0 :
Soit n un entier naturel, on munit R de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les inversions de par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) :
pour un hyperplan , l'inversion par rapport à P(a, t), notée σ, est la réflexion par rapport à l'hyperplan P(a, t) et a donc pour expression :
pour une sphère , l'inversion par rapport à S(a, r), notée σ, s'exprime par :
On remarque que les inversions sont involutives : si σ est une inversion, σ = Id.
De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.
Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :
les isométries de R (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions),
les homothéties de rapport positif (par composition de deux inversions par rapport à des sphères de même centre).
Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans R par rapport à la sphère S(e, ) qui, restreinte à R, correspond à la projection stéréographique de R sur S = S(0, 1) dans R. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace H = et la boule B = il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.
La transformation bilinéaire, qui associe la droite imaginaire à la sphère unité et qui est utilisée en traitement du signal pour faire le lien entre transformée en Z et transformée de Laplace, est un autre cas particulier de transformation de Möbius.
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