Degré d'une application

Le degré d'une application continue entre variétés de même dimension est une généralisation de la notion d'enroulement d'un cercle sur lui-même. C'est un invariant homologique à valeurs entières. Sa définition, d'abord réservée aux applications différentiables, s'étend aux applications continues par passage à la limite du fait de son invariance par homotopie. Mais la construction des groupes d'homologie permet aussi de proposer une définition directe pour les applications continues. Pour une application continue du cercle unité S dans lui-même, on définit comme suit le degré d'enroulement. On paramètre S par Un théorème de relèvement montre alors que pour toute application continue γ : R → S et tout choix d'un réel t tel que γ(0) = p(t), il existe une unique application continue Γ : R → R telle que γ = p ∘ Γ et Γ(0) = t. En appliquant ce théorème à γ := f ∘ p, on trouve donc une application continue unique à une constante additive près (multiple de 2π), telle que Puisque la fonction est continue et que ses valeurs sont des multiples entiers de 2π, elle est constante. Le facteur entier de ce multiple est appelé degré d'enroulement de f. Soient M et N deux variétés différentielles (sans bord) orientées et de même dimension, telles que M soit compacte et N soit connexe. Soit f une application différentiable de M dans N. (La définition peut aussi s'étendre aux variétés à bord à condition que la fonction f préserve le bord.) D'après le théorème de Sard, il existe un point y de N qui soit une valeur régulière de f. En tout point x de la , la différentielle induit donc une application linéaire surjective entre les espaces tangents (orientés) et . Par égalité des dimensions, ces applications linéaires sont des isomorphismes d'espaces vectoriels orientés. Leur signe, noté , est défini comme égal à +1 si préserve l'orientation et à –1 sinon. Par compacité de M, la préimage est finie et le degré de f en y peut donc se définir par la somme : Le signe de cet entier dépend du choix des orientations de M et N.