Théorème du point fixe de Brouwer

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K. Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe, celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam. À ce titre, il est un des théorèmes fondamenta

Application aux équations aux dérivées partielles d'une méthode par point fixe et le problème des deux puits

Sébastien Basterrechea

This thesis consists of two parts. The first part is about a variant of Banach's fixed point theorem and its applications to several partial differential equations (PDE's), abstractly of the form [ \mathcal Lu + \mathcal Q(u) = f.] The main result of this first part asserts that an equation having this form admits a solution if the datum

f

satisfies a certain smallness assumption. This result (we call it \emph{the fixed point method}) is relatively simple to use and can be applied to a large variety of PDE's. The downside is that it guarantees the existence of solutions only for "small" data. The equations we deal with are Jacobian equations, non-linear elliptic PDE's, transport problems and the semi-linear wave equation. The second part of the thesis treats the

\emph{two well problem}

in two dimensions [ \nabla u \in \mathbb{S}_A \cup \mathbb{S}_B\quad \text{almost everywhere in}\ \Omega, ] [ u = u_0\quad \text{on}\ \partial\Omega. ] For the non-degenerate case

\det(A),\det(B) \neq 0

, we show a non-existence result for piecewise regular solutions if

A

and

B

are non-orthogonal. For the degenerate and semi-degenerate cases, we give a characterisation for the rank-one convex hull of

\mathbb{S}_A \cup \mathbb{S}_B

and several existence results for Lipschitz and piecewise affine solutions. Finally, for each case, we construct several explicit non-trivial solutions for well-chosen boundary conditions

u_0

EPFL2015

Réalisation d’un onduleur à résonance pour un afficheur rotatif à LEDs

Marc Jobin

Dans le cadre d'un projet de semestre précédent, un afficheur rotatif à LEDs a été réalisé. Il s'agit d'un dispositif comportant une rangée de LEDs qui, une fois mises en rotation suffisante, permet d'afficher des images. Ce système est alimenté par induction. Néanmoins, il manque à ce dernier l'onduleur permettant de générer un courant sinusoïdal à haute fréquence dans la bobine primaire. Le but de ce projet est d'une part d'étudier et de comparer les différentes topologies d'onduleur à résonance ainsi que leurs commandes respectives, et de réaliser ce dernier d'autre part (électronique + programmation). Des mesures seront effectuées sur le système développé afin de valider les résultats obtenus par simulation. Finalement, l'onduleur sera adapté pour l'alimentation de cet afficheur.

2012

Application aux équations aux dérivées partielles d'une méthode par point fixe et le problème des deux puits

Sébastien Basterrechea

f

\emph{two well problem}

in two dimensions [ \nabla u \in \mathbb{S}_A \cup \mathbb{S}_B\quad \text{almost everywhere in}\ \Omega, ] [ u = u_0\quad \text{on}\ \partial\Omega. ] For the non-degenerate case

\det(A),\det(B) \neq 0

, we show a non-existence result for piecewise regular solutions if

A

and

B

are non-orthogonal. For the degenerate and semi-degenerate cases, we give a characterisation for the rank-one convex hull of

\mathbb{S}_A \cup \mathbb{S}_B

and several existence results for Lipschitz and piecewise affine solutions. Finally, for each case, we construct several explicit non-trivial solutions for well-chosen boundary conditions

u_0

EPFL2015

Théorème du point fixe de Brouwer

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel

Application aux équations aux dérivées partielles d'une méthode par point fixe et le problème des deux puits

Réalisation d’un onduleur à résonance pour un afficheur rotatif à LEDs

Application aux équations aux dérivées partielles d'une méthode par point fixe et le problème des deux puits

Réalisation d’un onduleur à résonance pour un afficheur rotatif à LEDs

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel