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Concept
Théorème du point fixe de Brouwer
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K.
Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe, celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam. À ce titre, il est un des théorèmes fondamentaux de la topologie. Ce théorème intervient aussi pour établir des résultats fins sur les équations différentielles ; il est présent dans les cours élémentaires de géométrie différentielle. Il apparaît dans des branches plus inattendues, comme la théorie des jeux, où John Nash l'utilise pour montrer l'existence d'un équilibre pour un jeu de n personnes avec stratégies mixtes.
Historiquement, le théorème est étudié à la suite de travaux sur les équations différentielles de mathématiciens français comme Poincaré et Picard. Démontrer des résultats comme le théorème de Poincaré-Bendixson demande l'usage d'outils de topologie. Ces études de la fin du débouchent sur plusieurs versions successives du théorème ; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer en propose une démonstration générale, établissant à nouveau un résultat déjà prouvé par Hadamard en 1910.
Il existe plusieurs formes du théorème, selon le contexte d'utilisation. La plus simple est parfois donnée sous la forme suivante :
Il est possible de généraliser à toute dimension finie.
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