Nilpotent idealIn mathematics, more specifically ring theory, an ideal I of a ring R is said to be a nilpotent ideal if there exists a natural number k such that I k = 0. By I k, it is meant the additive subgroup generated by the set of all products of k elements in I. Therefore, I is nilpotent if and only if there is a natural number k such that the product of any k elements of I is 0. The notion of a nilpotent ideal is much stronger than that of a nil ideal in many classes of rings.
Idempotent (ring theory)In ring theory, a branch of mathematics, an idempotent element or simply idempotent of a ring is an element a such that a2 = a. That is, the element is idempotent under the ring's multiplication. Inductively then, one can also conclude that a = a2 = a3 = a4 = ... = an for any positive integer n. For example, an idempotent element of a matrix ring is precisely an idempotent matrix. For general rings, elements idempotent under multiplication are involved in decompositions of modules, and connected to homological properties of the ring.
NilradicalEn algèbre, le nilradical d'un anneau commutatif est un idéal particulier de cet anneau. Soit A un anneau commutatif. Le nilradical de A est l'ensemble des éléments nilpotents de A. En d'autres termes, c'est l'idéal radical de l'idéal réduit à 0. En notant Nil(A) le nilradical de A, on a les énoncés suivants : Nil(A) est un idéal ; l'anneau quotient A/Nil(A) est réduit, c'est-à-dire qu'il n'a pas d'éléments nilpotents hormis 0 ; Nil(A) est inclus dans chaque idéal premier de A ; si s est un élément de A qui n'appartient pas à Nil(A), alors il existe un idéal premier auquel s n'appartient pas ; si A n'est pas l'anneau nul, Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A et même, de tous ses .
NilpotentEn mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que x = 0. Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice est nilpotente parce que A = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent. Dans l'anneau Z/9Z, la classe de 3 est nilpotente parce que 3 est congru à 0 modulo 9. L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
Radical de JacobsonEn algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
