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Concept
Nombre de Grassmann
Résumé
En physique mathématique, un nombre de Grassmann — ainsi nommé d'après Hermann Günther Grassmann mais aussi appelé supernombre — est un élément de l'algèbre extérieure — ou algèbre de Grassmann — d'un espace vectoriel, le plus souvent sur les nombres complexes. Dans le cas particulier où cet espace est une droite vectorielle réelle, un tel nombre s'appelle un nombre dual. Les nombres de Grassmann ont d'abord été employés en physique pour exprimer une représentation par intégrales de chemins pour les champs de fermions, mais sont à présent largement utilisés pour décrire le sur lequel on définit une supersymétrie.
Soit V un espace vectoriel, muni d'une base privilégiée dont les vecteurs sont appelés les « variables de Grassmann » ou « directions de Grassmann » ou « supercharges ». Le corps K des scalaires est généralement C ou parfois R. L'algèbre extérieure de V s'écrit
où le symbole (couramment omis dans ce contexte) désigne le produit extérieur (qui est bilinéaire et alterné) et la somme directe.
Plus concrètement, est la K-algèbre associative et unifère engendrée par les , soumis aux seules relations :
En particulier, si et seulement si deux indices (avec ) sont égaux.
Un nombre de Grassmann est un élément de cette algèbre :
où les c sont des scalaires et sont tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux.
Si V est de dimension finie n, la somme directe ci-dessus est finie :
La k-ième puissance alternée admet alors pour base les avec donc sa dimension est égale au coefficient binomial et (d'après la formule du binôme) la dimension de est égale à 2.
Deux types distincts de supernombres apparaissent couramment dans la littérature : ceux de dimension finie, typiquement n = 1, 2, 3 ou 4, et ceux de dimension infinie dénombrable. Ces deux situations sont plus reliées qu'il n'y paraît. D'abord, dans la définition d'une , une variante utilise un ensemble infini dénombrable de générateurs, mais emploie ensuite une topologie si grossière qu'elle réduit la dimension à un nombre fini petit.
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