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Concept
Nombre dual
Résumé
En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément ε avec la propriété ε = 0 (ε est un élément nilpotent). Ils ont été introduits par William Clifford en 1873.
Ils sont notamment utiles pour fournir un outil de dérivation automatique. Ils ont également des applications en physique.
Tout nombre dual s'écrit de façon unique sous la forme z = a + bε avec a et b réels. Le plan de tous les nombres duaux est un « plan complexe alternatif » qui complète le plan complexe ordinaire et le plan des nombres complexes déployés. Le « cercle unité » des nombres duaux est constitué des nombres de la forme z = a + bε avec a = ±1 puisque ceux-ci satisfont z z* = 1 où z* = a – bε.
Cependant, exp(bε) = 1 + bε, donc l' de l'axe des ε par l'application exponentielle est seulement la moitié du « cercle ».
Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres duaux sur R comme le quotient de l'anneau de polynômes R[X] par l'idéal (X) : l'image de X est alors de carré nul et correspond à l'élément ε ci-dessus. Cet anneau et ses généralisations jouent un rôle important dans la théorie algébrique des dérivations et des (formes différentielles purement algébriques).
Avec cette description, il est clair que les nombres duaux sur R forment une R-algèbre associative et commutative de dimension 2, donc un anneau commutatif de même caractéristique que R (c'est-à-dire de caractéristique 0 dans le cas usuel où R est le corps des réels).
Le nombre dual z = a + bε est une unité (c'est-à-dire un élément inversible) si et seulement si a est une unité dans R. Dans ce cas, l'inverse de z est z*/a. Par conséquent, les nombres duaux sur un corps commutatif quelconque (ou même un anneau local commutatif) forment un anneau local.
L'anneau R[ε] n'est pas un corps (puisque les éléments de la forme 0 + bε ne sont pas inversibles), ni même un anneau intègre (puisque tous les éléments de cette forme sont des diviseurs de zéro).
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