Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Nombre dual
Résumé
En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément ε avec la propriété ε = 0 (ε est un élément nilpotent). Ils ont été introduits par William Clifford en 1873.
Ils sont notamment utiles pour fournir un outil de dérivation automatique. Ils ont également des applications en physique.
Tout nombre dual s'écrit de façon unique sous la forme z = a + bε avec a et b réels. Le plan de tous les nombres duaux est un « plan complexe alternatif » qui complète le plan complexe ordinaire et le plan des nombres complexes déployés. Le « cercle unité » des nombres duaux est constitué des nombres de la forme z = a + bε avec a = ±1 puisque ceux-ci satisfont z z* = 1 où z* = a – bε.
Cependant, exp(bε) = 1 + bε, donc l' de l'axe des ε par l'application exponentielle est seulement la moitié du « cercle ».
Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres duaux sur R comme le quotient de l'anneau de polynômes R[X] par l'idéal (X) : l'image de X est alors de carré nul et correspond à l'élément ε ci-dessus. Cet anneau et ses généralisations jouent un rôle important dans la théorie algébrique des dérivations et des (formes différentielles purement algébriques).
Avec cette description, il est clair que les nombres duaux sur R forment une R-algèbre associative et commutative de dimension 2, donc un anneau commutatif de même caractéristique que R (c'est-à-dire de caractéristique 0 dans le cas usuel où R est le corps des réels).
Le nombre dual z = a + bε est une unité (c'est-à-dire un élément inversible) si et seulement si a est une unité dans R. Dans ce cas, l'inverse de z est z*/a. Par conséquent, les nombres duaux sur un corps commutatif quelconque (ou même un anneau local commutatif) forment un anneau local.
L'anneau R[ε] n'est pas un corps (puisque les éléments de la forme 0 + bε ne sont pas inversibles), ni même un anneau intègre (puisque tous les éléments de cette forme sont des diviseurs de zéro).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique
Publications associées (11)
Concepts associés (20)
Algèbre de Clifford
En mathématiques, l'algèbre de Clifford est un objet d'algèbre multilinéaire associé à une forme quadratique. C'est une algèbre associative sur un corps, permettant un type de calcul étendu, englobant les vecteurs, les scalaires et des « multivecteurs » obtenus par produits de vecteurs, et avec une règle de calcul qui traduit la géométrie de la forme quadratique sous-jacente. Le nom de cette structure est un hommage au mathématicien anglais William Kingdon Clifford.
Infiniment petit
Les infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot vient de infinitesimus (latin du ), ce qui signifiait à l'origine l'élément dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible.
Anneau quotient
En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).