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Concept
Calcul fonctionnel holomorphe
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le calcul fonctionnel holomorphe désigne l'application du calcul fonctionnel aux fonctions holomorphes, c'est-à-dire qu'étant donnés une fonction holomorphe ƒ de la variable complexe z et un opérateur linéaire T, l'objectif est de construire un opérateur f (T) étendant ƒ de manière « naturelle ».
Le cas le plus fréquent est celui où T est un opérateur borné sur un espace de Banach. En particulier, en dimension finie, T peut être identifié à une matrice carrée à coefficients complexes ; ce cas permet d'illustrer les idées du calcul fonctionnel, et sert souvent de motivation heuristique aux techniques d'analyse d'opérateurs plus généraux
calcul fonctionnel
On suppose dans cette section que T est une matrice carrée n × n à coefficients complexes.
Pour certaines fonctions simples f, il y a des façons naturelles de définir f (T). Par exemple, si est un polynôme à coefficients complexes, il suffit de remplacer z par T pour définir , où T0 = I, la matrice identité (d'ordre n). C'est le calcul fonctionnel polynomial, définissant un homomorphisme de l'algèbre des polynômes vers l'algèbre des matrices n × n.
Ce cas se généralise sans difficulté à celui d'une fonction partout holomorphe, c'est-à-dire à une fonction entière, pour laquelle la série de Taylor
a un rayon de convergence infini. Dans ce cas, en effet, définissant , cette série convergera (plus généralement, elle convergera normalement si T est un opérateur borné pour la norme utilisée).
Un exemple important est le cas de l'application exponentielle, et en particulier de l'exponentielle de matrice. On obtient (prenant pour f la fonction exponentielle usuelle)
Il n'est pas vraiment nécessaire que la série de Taylor de f converge partout ; il est clair qu'il suffit que son rayon de convergence soit supérieur à
la norme d'opérateur de T. Bien que cela permet d'étendre la classe des fonctions f pour lesquelles on peut définir f (T), cela est loin d'être suffisant dans tous les cas.
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