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Concept
Morphisme zéro
Résumé
Dans la théorie des catégories, une branche des mathématiques, un morphisme zéro est un type spécial de morphisme présentant certaines propriétés comme celles des morphismes vers et depuis un objet zéro .
Supposons que C soit une catégorie, et f : X → Y un morphisme de la catégorie C. Le morphisme f est appelé morphisme constant (ou encore morphisme zéro à gauche) si pour tout objet W de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie , on a fg = fh. Parallèlement, f est appelé morphisme coconstant (ou encore morphisme zéro à droite) si pour tout objet Z de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie g, h : Y → Z, on a gf = hf. Un morphisme zéro est à la fois un morphisme constant et coconstant .
Une catégorie avec morphismes zéro est celle où, pour tous les couples d'objets A et B de la catégorie C, il y a un morphisme fixe de cette catégorie 0AB : A → B, cette collection de morphismes zéro étant telle que pour tous les objets X, Y, Z de la catégorie C et tous les morphismes de cette catégorie f : Y → Z, g : X → Y, le diagramme suivant commute:
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Les morphismes 0XY sont nécessairement des morphismes zéro et forment un système compatible de morphismes zéro.
Si C est une catégorie avec morphismes zéro, alors la collection des morphismes zéro 0XY est unique.
Cette façon de définir séparément un "morphisme zéro" et l'expression "une catégorie à morphismes zéro" est malheureuse, mais si chaque sous-catégorie a un "morphisme zéro", alors la catégorie est "à morphismes zéro".
Dans la catégorie des groupes (ou des modules ), un morphisme zéro est un homomorphisme f : G → H qui mappe tout G à l'élément d'identité de H. L'objet zéro dans la catégorie des groupes est le groupe trivial 1 = {1}, qui est unique à un isomorphisme près. Tout morphisme zéro peut être factorisé par 1, c'est-à-dire f : G → 1 → H.
Plus généralement, supposons que C soit une catégorie avec un objet zéro 0 pour tous les objets X et Y, il existe une séquence unique de morphismes zéro
0XY : X → 0 → Y
La famille de tous les morphismes ainsi construite confère à C la structure d'une catégorie à morphismes zéro.
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