En mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces. C'est un exemple de catégorie topologique.
La catégorie des espaces topologiques est la catégorie Top défini ainsi :
Les objets sont les espaces topologiques ;
Les morphismes sont les applications continues entre tels espaces, la composition étant la composition usuelle des fonctions, et l'identité étant la fonction identité.
On dispose du foncteur d'oubli de Top dans la catégorie des ensembles consistant à ignorer la topologie :
Ce foncteur forme un triplet d'adjonction
où D munit l'ensemble considéré de la topologie discrète, et I le munit de la topologie grossière. Ces deux foncteurs forment des plongements pleins de Set dans Top.
Top est une catégorie concrète ;
Top est complète et cocomplète ;
Top n'est pas une catégorie préadditive ;
Top n'est pas cartésienne close, donc n'est pas un topos.
L'ensemble vide est l'objet initial de Top ;
Le singleton est l'objet final de Top ;
Top n'a pas d'objet zéro ;
Top n'a pas d'objet exponentiel ;
Les monomorphismes de Top sont les applications continues injectives ;
Les monomorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux plongements ;
Les épimorphismes de Top sont les applications continues surjectives ;
Les épimorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux applications quotient ;
Les isomorphismes de Top sont les homéomorphismes ;
Top n'admet pas de morphisme zéro.
Le produit dans Top correspond au produit cartésien muni de la topologie produit.
L'égaliseur dans Top est l'égaliseur ensembliste muni de la topologie induite.
Le coégaliseur dans Top est le coégaliseur ensembliste muni de la topologie quotient.
La limite inductive dans Top correspond à la limite ensembliste munie de la topologie finale.
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L’égaliseur est une construction catégorique associée à deux morphismes parallèles, qui généralise en un certain sens la notion de noyau en algèbre. La construction duale, le coégaliseur peut s'interpréter comme une généralisation catégorique de la notion de quotient par une relation d'équivalence. On trouve parfois la variante égalisateur. Soit C une catégorie et deux objets X et Y de cette catégorie. Soient deux morphismes parallèles f et g entre ces objets : On dit qu'une flèche égalise la paire lorsque les morphismes composés coïncident.
En mathématiques, dans une catégorie, la somme ou coproduit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on a . Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des . Lorsqu'elle existe, la somme des X représente le foncteur qui à un objet Y de associe le produit cartésien .
En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas.
Couvre les concepts de limites et de colimits dans la catégorie des espaces topologiques, en mettant l'accent sur la relation entre la colimit et les constructions limites et les adjonctions.
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