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Concept
Domaine d'holomorphie
Résumé
En mathématiques et plus précisément en analyse complexe à plusieurs variables, on dit qu'un domaine (i.e. un ouvert connexe), est un domaine d'holomorphie s'il existe une fonction analytique dans et non prolongeable ailleurs.
Dans le cas particulier des domaines plans, cette propriété est triviale.
Mais ce n'est plus vrai dans le cas général comme l'explicite le théorème de Hartogs : il suffit par exemple de considérer dans lequel toute fonction analytique se prolonge nécessairement à l'espace tout entier.
Un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie admet une extension holomorphe . Si de plus est holomorphe dans , alors son prolongement à ne peut prendre que des valeurs déjà prises sur .
Domaine d'holomorphie
Un ouvert connexe de est un domaine d'holomorphie s'il n'existe aucun couple d'ouverts vérifiant les propriétés suivantes :
est connexe et n'est pas contenu dans ,
Pour toute fonction holomorphe dans , il existe une fonction holomorphe dans (pas nécessairement unique) telle que sur .
Un polydisque ou plus généralement un produit de domaines plans est un domaine d'holomorphie.
Théorème
Soit une famille de domaines d'holomorphie et leur intersection. Alors toute composante connexe de l'intérieur est un domaine d'holomorphie.
Enveloppe d'holomorphie
L'enveloppe holomorphiquement convexe d'un ensemble d'un domaine (i.e un ouvert connexe), ou plus généralement d'une variété complexe est par définition :
Soit un compact. On a les propriétés suivantes :
est un fermé de contenant . De plus,
C'est-à-dire,
Si est une application holomorphe entre deux domaines et une partie compacte alors :
En particulier,
est la réunion de et des composantes connexes de relativement compactes. Ceci découle principalement du principe du maximum.
Il peut s'avérer utile d'étudier l'enveloppe -convexe d'un compact relativement à une sous-classe de fonctions holomorphes. On la note alors .
Par exemple si désigne l'ensemble des fonctions linéaires, on retrouve l'enveloppe convexe au sens géométrique.
Si , on appelle l'enveloppe polynomiale convexe.
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