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Concept
Nombre triangulaire
Résumé
droite|vignette|upright=1.3|Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires.
vignette|upright=1.3|Le septième nombre triangulaire est 28.
En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est 28. Une définition plus formelle de cette suite d'entiers s'obtient par récurrence : le premier nombre triangulaire est 1, et le n-ième est la somme de n et du précédent. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 (). Il existe différentes manières de calculer le n-ième nombre triangulaire ; l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique. On trouve, si t désigne le n-ième nombre triangulaire :
Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de Pythagore — et probablement connue depuis le début du
Elle est citée par Alcuin au dans un recueil de récréations mathématiques.
vignette|upright=0.8|Le n-ième nombre triangulaire s'obtient en ajoutant n au précédent et est donc la somme des entiers de 1 à n.
Formellement, un nombre triangulaire se définit comme une suite, notée (t) dans cet article, où n est un indice parcourant les entiers strictement positifs :
Une autre manière de définir cette suite est une récurrence. Les deux formulations sont équivalentes :
Chez les Pythagoriciens, le quatrième nombre triangulaire, c'est-à-dire 10 est nommé tetraktys. Il dispose d'une dimension symbolique.
Remarque : Le choix de ne pas définir le nombre triangulaire d'indice 0 se justifie historiquement, le zéro n'existant pas chez les Grecs de l'Antiquité. Cette convention est choisie pour certaines présentations didactiques. Elle est aussi choisie historiquement dans l'encyclopédie de Diderot et D'Alembert pour tous les nombres figurés. Mais elle n'est pas toujours suivie.
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