Nombres amicaux

vignette|220 et 284 sont des nombres amicaux. En arithmétique, deux nombres (entiers strictement positifs) sont dits amicaux ou amiables ou aimables s'ils sont distincts et si chacun des deux nombres est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre. Si l'on note s(n) la somme des diviseurs stricts de n et σ(n) = s(n) + n la somme de tous ses diviseurs, deux nombres distincts m et n sont donc amicaux si et seulement si ou, ce qui est équivalent : Cela implique que si l'un des deux nombres est abondant, alors l'autre est déficient. Les nombres entiers 220 et 284 sont amicaux car : ou encore : Les 13 paires de nombres amicaux dont le premier a moins de 6 chiffres sont : Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à son frère aîné Ésaü quand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical. Le philosophe Jamblique (vers 250-330) écrit que « les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ». Quant à l'historien Ibn Khaldoun, il assure que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des talismans pour favoriser les amitiés et les unions. Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thābit ibn Qurra (vers 850) démontre que : Si n > 1 et si les trois nombres p = 3 × 2 − 1, q = 3 × 2 − 1 et r = 9 × 2 − 1 sont premiers, alors 2pq et 2r sont amicaux. Il faut cependant plusieurs siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux. La paire {, } (n = 4) est signalée au , indépendamment, par les mathématiciens Ibn al-Banna et Al-Farisi, puis redécouverte par Fermat, qui l'annonce dans une lettre à Mersenne en 1636.

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