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Concept
Nombre parfait
Résumé
En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
Voir la .
Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait.
Par ailleurs, Leonhard Euler, au , a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme M = 2 − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :
Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :
6 = 2(2 – 1) = (1 + 2) + 3 ;
28 = 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
496 = 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
= 2(2 – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + + + ).
Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du , s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts).
Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant :
Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.
En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux.
Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2(2 − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2 − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2 premiers cubes impairs.
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Proximité ontologique