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Concept
Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
Résumé
En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque :
La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
Si p est un nombre premier alors est une somme partielle de série géométrique :(La condition équivaut à , ce qui est vrai pour tous les p si est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, n'est pas complètement multiplicative.
L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
On peut aussi calculer (p) par les polynômes de Tchebychev : soient le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré , et sa renormalisation, définie par . Alors :
Notons . Il s'agit de prouver que
ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :
Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel non multiple de , en posant , on a
donc
ce qui conclut.
Par multiplicativité, on déduit du point précédent :(où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius :.
On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de :
La série de Dirichlet associée à s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann :et l'on a la relation :
La fonction (), également notée d, est aussi appelée fonction tau (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :La suite est répertoriée comme .
La fonction sigma est parfois notée σ. On aPar exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors
où φ est l'indicatrice d'Euler.
La somme des diviseurs stricts de n est
L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.
La suite est répertoriée comme .
La suite est répertoriée comme .
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